Santa Casa - Questão de probabilidade

2) Santa casa - 1977- Dispoe-se de um mapa
(anexo).Dispoe-se tambem de um dado com 3 faces
vermelhas e 3 faces azuis.

I) partindo do quadro1 , pode-se caminhar , no sentido
indicado pelas setas para os demais quadros , a cada
lançamento do dado.

II) lançando-se o dado , se sair face azul, segue-se
pela seta da direita até o quadro seguinte.

III)lançando-se o dado , se sair face vermelha , segue-
se pela seta da esquerda até o quadro seguinte. A
probabilidade de chegar ao quadro 13 , partindo de 1 é:

R: 6/16.

Mapa: 1
-------/  \
------2---3
-----/ \-- / \
----4---5----6
---/ \-- / \-- / \
--7 --8--- 9 ---10
-/ \ / --\ /-- \ /-- \
11 12- 13---14--- 15

Olá, Tarfk

Dividiremos o problema em casos.

\textrm{i)} O caminho a ser percorrido para chegar ao número 13 é 1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow 8 \rightarrow 13

A probabilidade desse evento ocorrer é dada por  \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

\textrm{ii)} O caminho a ser percorrido para chegar ao número 13 é 1 \rightarrow 2 \rightarrow 5 \rightarrow 8 \rightarrow 13

A probabilidade desse evento ocorrer é dada por  \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

\textrm{iii)} O caminho a ser percorrido para chegar ao número 13 é 1 \rightarrow 2 \rightarrow 5 \rightarrow 9 \rightarrow 13

A probabilidade desse evento ocorrer é dada por  \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

\textrm{iv)} O caminho a ser percorrido para chegar ao número 13 é  1 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 8 \rightarrow 13

A probabilidade desse evento ocorrer é dada por  \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

\textrm{v)} O caminho a ser percorrido para chegar ao número 13 é 1 \rightarrow 3 \rightarrow 5 \rightarrow 9 \rightarrow 13

A probabilidade desse evento ocorrer é dada por  \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

\textrm{vi)} O caminho a ser percorrido para chegar ao número 13 é 1 \rightarrow 3 \rightarrow 6 \rightarrow 9 \rightarrow 13

A probabilidade desse evento ocorrer é dada por  \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2}  \times  \frac{1}{2} = \frac{1}{16}

A resposta é \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{6}{16}

Depois eu penso em uma solução boa.

Mateus Meireles escreveu:Olá, Tarfk

Dividiremos o problema em casos.


Depois eu penso em uma solução boa.

Então, eu estava fazendo assim:
Do 1 para o 2 ou 3 eu tenho 2 possibilidades.
Do 2 para 4 ou 5, 2 possibilidades. Assim como do 3 para 5 ou 6, mais duas. 
4 só pode ir para o 8 para chegar ao 13, 1 possibilidade.
5(8 ou 9) - 2 possibilidades.
6, 1 possibilidade.
Do 8 e 9 para chegar ao 13, cada um só pode ir para o 13, 2 possibilidades. 

Ficaria 2x4x4x2 = 64.

Espaço amostral seria todas as possibilidades de caminho.( 2.4.6.8 = 384)

64/384 = 1/6 .
 O que estou fazendo de errado nessa resolução?

Hum..

Acredito que o erro esteja em considerar que haverá 2/4/4/2 possibilidades (caminhos). A partir do momento que um número é escolhido, digamos que seja o 2, há dois caminhos (e não quatro): ir para o 4 ou para o 5 para chegar ao 13. O problema, agora, é que não haverá duas possibilidades a partir desse passo pois tudo depende de qual número foi escolhido.

Caso tenha sido o número 5, realmente teremos duas possibilidades: 8 ou 9.

Mas caso tenha sido escolhido o número 4, teremos apenas uma possibilidade: 8.

Por isso que o espaço amostral/casos favoráveis foram contados de maneira incorreta.

Em alguns casos é interessante resolver os problema de contagem de "trás para frente", isto é, partir de onde nós devemos chegar (13) e terminar onde começamos (1), mas nesse caso não vai ser uma boa ideia porque a gente tem uns problemas no meio do caminho.

Acredito que a resolução seja a que eu já mostrei no comentário acima mesmo.

Mas, veja bem, se eu escolho o 2 , posso ir para 4 ou 5: duas possibilidades. Mas posso escolher o 3 também, que irá para 5 ou 6: mais duas possibilidades. Resultando em 2 +(ou) 2 = 4 possibilidades. Não?

Adoraria complementar o tópico com uma resolução que julgo mais simples. Ela segue a ideia desse modelo de questão: escolha de caminhos. Segue o link para uma resolução desse modelo: https://pir2.forumeiros.com/t91516-quantos-caminhos-diferentes-sao-possiveis

Aqui podemos usar uma ideia parecida. Chamemos de "D" os caminhos para a direita e "E" os caminhos para a esquerda. Uma combinação para chegarmos à casa 13 seria: 

DEDE

Os outros casos são obtidos a partir da simples permutação dessa "palavra" que achamos, uma vez que, para chegarmos à casa 13, teremos que fazer alguma sequência parecida com a apresentada, portanto:

\(P_4 ^{2,2} = 6 \)

Significa que temos 6 caminhos possíveis para escolhermos. Porém, a escolha de "D" ou "E" vai depender da cor que cair no dado. Mas o dado possui a mesma quantidade de cores azuis e vermelhas! Então a chance de cair qualquer uma das cores será 1/2.

Para a sequência DEDE, a probabilidade de escolhermos as cores certas para prosseguirmos nesse caminho será:

\((\frac{1}{2}) \;. (\frac{1}{2}) \;. (\frac{1}{2}) \;. (\frac{1}{2}) \; = \frac{1}{16}\)

E essa probabilidade será exatamente a mesma para os 6 casos, portanto, temos como resposta:

\(\boxed{\frac{6}{16}} \)