Duvida conceitual sobre combinações

Aprendi que pra desfazer contagens excessivas em situações que a ordem não importa divide-se o produto pelo (número de elementos)! na combinação, mas por que fazer isso? Por exemplo: no principio fundamental da contagem tenho a clareza de saber que para cada uma das n possibilidades existem outras m, e as somando obtêm-se m+m+m+...+m n vezes, ou seja, n*m. Mas não consigo ter a mesma intuição lógica quando se trata de combinações já que, de fato, eu apenas decorei que deve-se dividir o produto, o que está me atrapalhando em resolver problemas mais complexos de análise combinatória que envolvem combinações.

Por definição: C(a, b) = a!/b!.(a - b)!

radium, se você manjar um pouco de inglês, sugiro que assista ao menos as primeiras aulas dessa playlist. O professor explica sua dúvida de uma maneira intuitiva.
Caso não fale inglês, o khan academy também tem aulas traduzidas, basta procurar no site deles

O módulo de Análise que o amigo marcos colocou acima é ótimo, recomendo assisti-lo. Mas vou dar meu resumo em um exemplo.

Pense no seguinte caso. Dentre 4 amigos, Alan Bernardo Caio e Daniel, quero escolher um par pra ir numa viagem. Quantas formas posso fazer isso?
Para a 1a escolha do par, tenho 4 opções. Pra segunda escolha, tenho 3 opções. 4*3.  (Perceba que esse é o arranjo 4 escolhe 2). 
Porém, perceba que desta forma estamos contando o caso Alan-Bernardo e o caso Bernardo-Alan, que obviamente, ainda são o mesmo par de pessoas indo para a viagem. Pra um par, há 2! formas de permutar o mesmo caso, ou seja, precisamos dividir 4*3 por 2!. 
Você pode estender esse mesmo raciocínio para outros exercícios.
3 livros para ler no mês, de 5 opções. 5*4*3 formas de escolher 3 livros dentre 5. 3! casos em que os mesmos 3 livros permutam entre si. 5*4*3/3!.

Agradeço muitíssimo pela recomendação e ajuda . Imagino ter compreendido, agora. Minha dúvida residia principalmente no porquê de se dividir o produto para fazer a correção, ao invés de fazer qualquer outra operação (como subtração, por exemplo). Se, futuramente, alguém ainda não estiver esclarecido com as respostas desse post, vou dar um exemplo: Imagine que precisa-se escolher 3 amigos de um grupo de 4 amigos chamados A, B, C e D. Suponha que se escolha o amigo A e B, resta, portanto, escolher o C ou o D (2 possibilidades). Caso eu troque o B por C ou pelo D, haverão também 2 possibilidades de escolha para o último amigo, somando, fica 2+2+2=6 possibilidades. Ainda, caso eu troque o A pelo B, C ou o D, poderá ser feita exatamente a mesma análise de possibilidades, assim, há 6 possibilidades para A, 6 para B, 6 para C e 6 para D. Somando, fica 6+6+6+6=24 (isso foi apenas uma análise bem mais minuciosa do princípio fundamental da contagem, que diz que poderíamos simplesmente fazer 4*3*2 para obter o resultado). Entretanto, ao fazer essa contagem, considerou-se que ABC é diferente de ACB, o que não faz sentido no contexto de escolher amigos para uma viagem. Desse modo, listarei as 24 possibilidades para que possam ser removidas as contagens redundantes:
(A,B,C);(A,C,B);(A,D,B);(A,B,D);(A,C,D);(A,D,C)
(B,A,C);(B,C,A);(B,D,A);(B,A,D);(B,C,D);(B,D,C)
(C,A,B);(C,B,A);(C,D,A);(C,A,D);(C,B,D);(C,D,B)
(D,A,B);(D,B,A);(D,C,A);(D,A,C);(D,B,C);(D,C,B)
Adotando as possibilidades em preto como modelo (o que é arbitrário e feito apenas por fins didáticos já que, como já foi dito, a ordem não é relevante), as possibilidades de escolha coloridas são as contagens redundantes. Organizando desse modo, não é difícil ver que há 6 contagens para cada contagem real, isto é, as contagens: (A,B,C);(A,C,B);(B,A,C);(B,C,A);(C,A,B);(C,B,A) significam somente 1 contagem real. Outro modo de observar isto é vendo que existe a possibilidade (A,B,C), e esta tem 3*2*1=3!=6 versões embaralhadas não-relevantes. Dessa forma, pode-se obter o número total de possibilidades relevantes estabelecendo uma proporção de (contagens relevantes) para (contagens feitas): uma contagem relevante está para 6 contagens feitas assim como n contagens relevantes estão para 24 contagens feitas. Representando matematicamente:
\frac{1}{6}=\frac{n}{24}
Em que n=4, que é exatamente o resultado obtido caso fizéssemos \binom{4}{3}. Generalizando isso, podemos ver que, em situações onde a ordem não importa, 1 possibilidade está para suas p! contagens embaralhadas não-relevantes, assim como n possibilidades estão para suas possibilidades de arranjo ordenado não-relevantes. Representando matematicamente:
\frac{1}{p!}=\frac{n}{\frac{n!}{(n-p)!}}\Rightarrow n=\frac{n!}{p!(n-p)!}=\binom{n}{p}