Derivada trigonométrica com simplificação

por FalcolinoSheldon Sex Abr 12 2019, 09:45

y = \dfrac{sen x + cos x}{ sen x - cos x}

Resp.: y' = - \dfrac{2}{1 - sen 2x}

Não consegui chegar a resposta. Devo usar qual regra?

por **Giovana Martins** Sex Abr 12 2019, 10:13

Eu não posso fazer agora, mas use a regra do quociente que sai.

por FalcolinoSheldon Sex Abr 12 2019, 21:55

Muito obrigado, estou percebendo cada vez mais que minhas dúvidas estão ligadas a trigonometria em si. Cheguei a resposta fazendo exatamente o que você me disse.

Nota(1) Regra do Quociente
f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)}

f'(x)= \dfrac{g'(x) \cdot h(x) - g(x) \cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

Nota(2) Teorema Fundamental da trigonometria

sen ^ 2 x + cos ^ 2 = 1

Nota(3) Soma de arcos: Sen2x

sen (x + x) = sen2x = senx \cdot cosx +senx \cdot cosx = 2 \cdot senx \cdot cosx

_____________________________________________________

y = \dfrac{sen x + cosx }{ senx - cosx}

y' = \dfrac{ (cosx - senx) \cdot (senx - cosx) - (senx + cosx) \cdot (cosx + senx) }{ [(senx - cosx)]^2} = (Aplicação da Regra do quociente)

= \dfrac{ (cosx \cdot senx - cos^2 x - sen^2 x + senx \cdot cosx -senx \cdot cosx -sen^2 x -cos^2x -cosx \cdot senx) }{ (senx -cosx)\cdot (senx-cosx)} = (Distributiva e Exponenciação)

= \dfrac{ -2 \cdot cos ^2 x - 2 \cdot sen^2 x }{sen^2x + cos^2 x -2 \cdot cosx \cdot senx} = (Distributiva)

= \dfrac{- 2 \cdot (cos^ 2 x + sen^2 x )}{sen^2 x + cos^2 x -2 \cdot cosx \cdot senx} (Distributiva)

= \dfrac{-2 \cdot 1}{ 1 -sen2x} = \dfrac{-2 }{1 - sen2x} (Aplicação da nota(2) e nota(3) )

por **Giovana Martins** Sex Abr 12 2019, 22:41

Pois é. A parte de trigonometria cria bastante problemas quando você estuda Cálculo I e ainda tem algum tipo de defasagem nesse assunto. Mas que bom que você conseguiu resolver Smile

.

por FalcolinoSheldon Sex Abr 12 2019, 23:19

Que tipo de defasagem? novas técnicas(chute), coisas assim?

por **Giovana Martins** Dom Abr 14 2019, 09:00

Perdão pela demora.

- Conhecimento de identidades trigonométricas não tão comuns, por exemplo, as fórmulas de Prostaférese;

- Conhecimentos quanto a paridade das funções trigonométricas (as mais simples, como seno, cosseno e tangente);

- E algumas manipulações práticas que você só aprende com o tempo, por exemplo: sen(x)=cos((pi/2)-x).

Coisas assim.