MEDIDAS DE UM CUBO-ENEM

por Cecília Conceição Viana Qui 28 Mar 2019, 15:06

Relembrando a primeira mensagem :

Muitas indústrias têm procurado modificar as embalagens de seus produtos de forma a economizar material, mas mantendo o mesmo volume. Considere que se tenha uma folha de papelão quadrada e se deseje encontrar a melhor altura (h) para fazer uma caixa sem tampa, cortando-se os quatro cantos da folha. As exigências são que as dimensões da caixa sejam números inteiros e que o volume seja o maior possível. No modelo apresentado na figura seguinte, a folha tem 12 cm de lado e, nesse caso, a caixa de maior volume terá altura 2 cm. Para encontrar esse número, é calculado o volume em função da altura e prossegue-se atribuindo valores a h e calculando o volume, enquanto o valor do volume aumentar.

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Se a folha quadrada tiver 20 cm de lado, qual deve ser a medida do lado do quadrado a ser cortado em cada um dos cantos, de modo a obter uma caixa sem tampa cujas dimensões sejam números inteiros e cujo volume seja o maior possível?

A)2
B)3
C)4
D)5
E)6

A

por Cecília Conceição Viana Sex 29 Mar 2019, 08:24

por **Elcioschin** Sex 29 Mar 2019, 08:40

Questão mal formulada: deveria, ter sido indicado que a figura era apenas um exemplo pra evitar confusão de quem fez a prova

por megasistema Sáb 10 Ago 2019, 20:09

Não entendi uma coisa, se eu resolvo do método que o Élcio resolveu, porém usando os 20cm na fórmula, dá errado.

Observem se tem algum erro, por favor:

V = (20 - 2.h)².h --> V = (400 - 80h + 4h²).h --> V = 4h³ - 80h² + 400h

Derivando V

V' = 12h² - 160h + 400

Então, utilizei a fórmula Xv = -b/2a para encontrar a altura em que seria o volume máximo, porém o resultado encontrado foi 6,67 e não 3, como seria o gabarito da questão.

Alguém consegue ver o que eu errei?

Edit:

Acabei de perceber que derivando diferente dá certo:

V = 4h³ - 80h² + 400h --> V = 12h² - 80h² + 400h --> V = -68h² + 400h -->

Usando a fórmula Xv = -b/2a --> Hv = 400/136 = 2,94

Por que?

por **Medeiros** Sáb 10 Ago 2019, 21:33

Esse "derivando diferente" seu eu não entendi e, parece-me, não faz o menor sentido.

Quanto à primeira resolução, note que V'(h) é uma equação quadrática com coeficiente a positivo (a = 12) caracterizando a curva de uma parábola com concavidade para cima. Desta forma o vértice é o valor mínimo da função V' -- e Xv' é a abscissa onde esse valor ocorre. Esse ponto que vc achou é, na verdade, onde a segunda derivada (V'') é igual a zero, ou seja, onde a função V(h) original sofre uma inflexão (muda de concavidade).

A primeira derivada, quando igualada a zero já fornece o valor máximo ou mínimo da função. O que vc precisa achar são as raízes de V', ou seja, o "h" que torna V' = 0.