Soma limite + geometria

Num triângulo equilátero de lado a se inscreve uma circunferência de raio r. Nesta circunferência, se inscreve um triângulo equilátero de lado a' e neste inscreve-se uma circunferência de raio r'. Repete-se indefinidamente a operação de inscrição.

Calcule: O limite da soma dos lados dos triangulo e a soma dos raios das circunferências

Desenhe triângulo equilátero ABC de lado a e a circunferência inscrita de centro O e raio r
Seja M o lado médio da base BC; trace a altura AM

O é o baricentro do triângulo:  OM = r ---> OA = 2.r ---> AM = 3.r

AM = AB.cos30º ---> 3.r = a.√3/2 ---> r = a.√3/6 ---> a = 2.√3.r

a' = 2.r.cos30º ---> a' = 2.r.√3/2 ---> a' = r.√3

r' = a'.√3/6 ---> r' = (r.√3).(√3/6) ---> r' = r/2 ---> PG de razão q = 1/2

Soma dos lados do 1º triângulo = 3.a = 3.(2.√3.r) = 6.√3.r
Soma dos lados do 2º triângulo = 3.a' = 3.√3.r

PG de razão q = 1/2

S = a1/(1 - q) ---> Complete

O limite da soma dos lados dos triangulo e a soma dos raios das circunferências


... MASTIGADO

Sn= a1/(1-q)

Sn= a/(1-1/2)

Sn=2a

Soma dos raios das circunferências ( NÃO MASTIGADO)

PG.( a.(3^1/2) / 6 , a.(3^1/2) / 12 ...)

r= a.(3^1/2) / 6

r'= a.(3^1/2) / 12

q= 1/2

Sn = (a.(3^1/2) / 6 ) / 1- 1/2

Sn = (a.3^1/2) / 3


O mesmo raciocínio de Elcioshin  para encontrar r'.