Calcule a soma (limite)

por Lucasdeltafisica Qua 27 Mar 2019, 16:03

S = (1/3 + 1/3² + 1/3³ ...) + (1/5 + 1/5² + 1/5³ + ...) + ... + (1/(2n+1) +1/(2n+1)² + ...) + ...

R : 1

por **Elcioschin** Qua 27 Mar 2019, 16:57

PG1 ---> 1/3, 1/3², 1/3³, ... q1 = 1/3 ---> S1 = a1/(1 - q) ---> S1 = (1/3)/(1 - 1/3) ----> S1 = 1/2

PG2 ---> 1/5, 1/5², 1/5³, ... q1 = 1/5 ---> S1 = a1/(1 - q2) ---> S1 = (1/5)/(1 - 1/5) ----> S1 = 1/4

Calcule S3 para q3 = 1/7 e tente completar

por Lucasdeltafisica Qui 28 Mar 2019, 14:17

Consigo visualizar, mas não sei como continuar:

S = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ... + 1/2n

Se fosse uma progressão aritmetico-geometrica ;(
Tentei achar algum tipo de soma telescópia, mas não encontro

por Lucasdeltafisica Sex 29 Mar 2019, 13:36

por **Giovana Martins** Sex 29 Mar 2019, 14:42

Creio que esta soma diverge. Veja:

O primeiro somatório a seguir trata-se de uma série harmônica (H_n).

\\H_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\\\\\frac{1}{2}\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n} \right )=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\\\\ \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}=\frac{1}{2}H_n

Daqui sabemos que a nossa soma equivale a metade da série harmônica, mas, será que a série harmônica converge? Então, é um pouco famoso o fato de que a série harmônica diverge. Infelizmente eu não tenho grandes conhecimentos para provar isso, mas eu já vi a prova disso uma vez e, pelo que me lembro, não era algo muito difícil de se entender. Enfim, se a série harmônica diverge, a nossa série, que equivale a metade da série harmônica, também diverge. Acho que é isso.

por Lucasdeltafisica Sex 29 Mar 2019, 23:26

Obrigado Elcioshin e Giovanna XD

Mas ainda tem o problema, não sei como provar que o resultado é 1 Sad

por **Giovana Martins** Sex 29 Mar 2019, 23:47

Então, aí que está, acho que o gabarito não está correto. Quando eu digo que a série diverge, eu quero dizer que ela não converge, ou seja, não tende a um limite. Deixando a "formalidade" de lado, eu quero dizer que a série não assume um valor exato.

por Lucasdeltafisica Dom 31 Mar 2019, 10:39

Giovana Martins escreveu:Então, aí que está, acho que o gabarito não está correto. Quando eu digo que a série diverge, eu quero dizer que ela não converge, ou seja, não tende a um limite. Deixando a "formalidade" de lado, eu quero dizer que a série não assume um valor exato.

Obrigado Giovanna e Elcioshin XD
Não conhecia isso de divergir e convergir, estranho o livro não citar nada disso Sad