Calcule a soma:

por mandeeeti Seg 20 Abr 2015, 15:40

S = 1/2.1! + 3/2².2! + 5/2³3! + ...

a) 1/2
b) 1
c) 3/2
d) 1/9
e) 1/4

Obs) Os fatoriais também estão no denominador!

por **mauk03** Ter 21 Abr 2015, 07:15

$S=\frac{1}{2\cdot 1!}+\frac{3}{2^{2}\cdot 2!}+\frac{5}{2^{3}\cdot 3!}+...=\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{1}^{n}\frac{2i-1}{2^{i}\cdot i!}$

Observe que:
$\frac{2i-1}{2^{i}\cdot i!}=\frac{2i}{2^{i}\cdot i!}-\frac{1}{2^{i}\cdot i!}=\frac{1}{2^{i-1}\cdot (i-1)!}-\frac{1}{2^{i}\cdot i!}=a_{i-1}-a_{i}$

Portanto $\sum_{1}^{n}\frac{2i-1}{2^{i}\cdot i!}$ é uma soma telescópica negativa, e assim:
$S=\lim_{n\rightarrow \infty }\left (a_{1}-a_{n} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\left (\frac{2-1}{2^{0}\cdot 0!}-\frac{1}{2^{n}\cdot n!} \right )=\lim_{n\rightarrow \infty }\left (1-\frac{1}{2^{n}\cdot n!} \right )=1$

por mandeeeti Sáb 02 maio 2015, 16:37

Obrigada!!

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