Calcule a soma:

Seja a função:


Calcule a soma:
f(1) + f(3) + F(5) + ... F(999999)

Spoiler:

Pensei em racionalizar, mas não estou conseguindo! Existe alguma adição telescópica?

abelardo, continue tentando racionalizar a solução começa na ai.

Cumprimentos, Victor M.

É bem trabalhoso:

Faça ----> n² + 2n + 1 = a ----> n² - 2n + 1 = b

Somando ambas ----> 2n² + 2 = a + b ----> n² + 1 = (a + b)/2 = c

Temos então: F(n) = 1/(³\/a + ³\/c + ³\/b) ----> F(n) = 1/[(³\/a + ³\/b) + ³\/c]

Vamos calcular x = ³\/a + ³\/b

x = a^(1/3) + b^(1/3) ---> x³ = [a^(1/3) + b^1/3)]³ ---->

x³ = a + b + 3*[a^(2/3)*b^(1/3)] + 3*[a^(1/3)]*b^[(2/3] ---->

x³ = a + b + 3*[a^1/3)]*(ab)^(1/3) + 3*[b^(1/3)]*(ab)^(1/3) ---->

x³ = a + b + 3*[(ab)^(1/3)]*[a^(1/3) + b^(1/3)]

A partir daí substitua a, b por seus valores e simplifique. Depois calcule x

Finalmente racionalize x + ³\/(n² + 1)

Posso garantir que existe uma forma bem mais simples de fazer a racionalização(logo estarei postando aqui).

Cumprimentos, Victor M.

Só para finalizar postarei minha solução: chamando n+1 de a e n-1 de b temos:

F(n)=1/(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)

so que:
(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)(³\/a-³\/b) = a - b (Diferença entre cubos)
(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)=a - b /(³\/a-³\/b)

Substituindo na fórmula( e substituindo a e b):
F(n) = ³\/a-³\/b/a-b=³\/n+1 - ³\/n-1 /n+1 - n+1=(³\/n+1 - ³\/n-1 )/2
p/ n = 1 F(1) = (³\/2)/2
p/ n = 3 F(3) = (³\/4 - ³\/2)/2
...
p/n=999.999 f(999.999)=(³\/1.000.000 - ³\/999.998)/2
Somando tudo:
f(1) + f(3) + F(5) + ... F(999999) = (³\/1.000.000)/2 = 100/2 =50

Cumprimentos, Victor M.