Calcule a soma:
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Calcule a soma:
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Calcule a soma:
f(1) + f(3) + F(5) + ... F(999999)
Calcule a soma:
f(1) + f(3) + F(5) + ... F(999999)
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Victor M- Elite Jedi
- Mensagens : 408
Data de inscrição : 18/01/2011
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Localização : São José dos Campos
Re: Calcule a soma:
Pensei em racionalizar, mas não estou conseguindo! Existe alguma adição telescópica?
abelardo- Grupo
Velhos amigos do Fórum - Mensagens : 777
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Re: Calcule a soma:
abelardo, continue tentando racionalizar a solução começa na ai.
Cumprimentos, Victor M.
Cumprimentos, Victor M.
Victor M- Elite Jedi
- Mensagens : 408
Data de inscrição : 18/01/2011
Idade : 28
Localização : São José dos Campos
Re: Calcule a soma:
É bem trabalhoso:
Faça ----> n² + 2n + 1 = a ----> n² - 2n + 1 = b
Somando ambas ----> 2n² + 2 = a + b ----> n² + 1 = (a + b)/2 = c
Temos então: F(n) = 1/(³\/a + ³\/c + ³\/b) ----> F(n) = 1/[(³\/a + ³\/b) + ³\/c]
Vamos calcular x = ³\/a + ³\/b
x = a^(1/3) + b^(1/3) ---> x³ = [a^(1/3) + b^1/3)]³ ---->
x³ = a + b + 3*[a^(2/3)*b^(1/3)] + 3*[a^(1/3)]*b^[(2/3] ---->
x³ = a + b + 3*[a^1/3)]*(ab)^(1/3) + 3*[b^(1/3)]*(ab)^(1/3) ---->
x³ = a + b + 3*[(ab)^(1/3)]*[a^(1/3) + b^(1/3)]
A partir daí substitua a, b por seus valores e simplifique. Depois calcule x
Finalmente racionalize x + ³\/(n² + 1)
Faça ----> n² + 2n + 1 = a ----> n² - 2n + 1 = b
Somando ambas ----> 2n² + 2 = a + b ----> n² + 1 = (a + b)/2 = c
Temos então: F(n) = 1/(³\/a + ³\/c + ³\/b) ----> F(n) = 1/[(³\/a + ³\/b) + ³\/c]
Vamos calcular x = ³\/a + ³\/b
x = a^(1/3) + b^(1/3) ---> x³ = [a^(1/3) + b^1/3)]³ ---->
x³ = a + b + 3*[a^(2/3)*b^(1/3)] + 3*[a^(1/3)]*b^[(2/3] ---->
x³ = a + b + 3*[a^1/3)]*(ab)^(1/3) + 3*[b^(1/3)]*(ab)^(1/3) ---->
x³ = a + b + 3*[(ab)^(1/3)]*[a^(1/3) + b^(1/3)]
A partir daí substitua a, b por seus valores e simplifique. Depois calcule x
Finalmente racionalize x + ³\/(n² + 1)
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 73172
Data de inscrição : 15/09/2009
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Localização : Santos/SP
Re: Calcule a soma:
Posso garantir que existe uma forma bem mais simples de fazer a racionalização(logo estarei postando aqui).
Cumprimentos, Victor M.
Cumprimentos, Victor M.
Victor M- Elite Jedi
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Data de inscrição : 18/01/2011
Idade : 28
Localização : São José dos Campos
Re: Calcule a soma:
Só para finalizar postarei minha solução: chamando n+1 de a e n-1 de b temos:
F(n)=1/(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)
so que:
(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)(³\/a-³\/b) = a - b (Diferença entre cubos)
(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)=a - b /(³\/a-³\/b)
Substituindo na fórmula( e substituindo a e b):
F(n) = ³\/a-³\/b/a-b=³\/n+1 - ³\/n-1 /n+1 - n+1=(³\/n+1 - ³\/n-1 )/2
p/ n = 1 F(1) = (³\/2)/2
p/ n = 3 F(3) = (³\/4 - ³\/2)/2
...
p/n=999.999 f(999.999)=(³\/1.000.000 - ³\/999.998)/2
Somando tudo:
f(1) + f(3) + F(5) + ... F(999999) = (³\/1.000.000)/2 = 100/2 =50
Cumprimentos, Victor M.
F(n)=1/(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)
so que:
(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)(³\/a-³\/b) = a - b (Diferença entre cubos)
(³\/a² + ³\/ab + ³\/b²)=a - b /(³\/a-³\/b)
Substituindo na fórmula( e substituindo a e b):
F(n) = ³\/a-³\/b/a-b=³\/n+1 - ³\/n-1 /n+1 - n+1=(³\/n+1 - ³\/n-1 )/2
p/ n = 1 F(1) = (³\/2)/2
p/ n = 3 F(3) = (³\/4 - ³\/2)/2
...
p/n=999.999 f(999.999)=(³\/1.000.000 - ³\/999.998)/2
Somando tudo:
f(1) + f(3) + F(5) + ... F(999999) = (³\/1.000.000)/2 = 100/2 =50
Cumprimentos, Victor M.
Victor M- Elite Jedi
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