PG - Limite da Soma - Noções de Mat

por MrRobot(fake) Dom 17 Set 2017, 13:39

Olá, não cheguei a resposta certa.
Att.

6.70) Seja x um número real não nulo, tal que $-1< x< 1$ . Calcule a soma:

$x-\frac{x}{3}+x^{2}-\frac{x}{9}+x^{3}-\frac{x}{27}+x^{4}-\frac{x}{81}+...$

Gabarito: $\frac{3x-x^{2}}{2(1-x)}$

Solução:

$x-\frac{x}{3}+x^{2}-\frac{x}{9}+x^{3}-\frac{x}{27}+x^{4}-\frac{x}{81}+...= \overset{\underbrace{(x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...)}}{S_{n}'}-\overset{\underbrace{(\frac{x}{3}+\frac{x}{9}+\frac{x}{27}+\frac{x}{81}+...)}}{S_{n}''}$

$S_{n}=\frac{a_{1}}{1-q}$ neste caso em que $-1< x< 1$ e que em ambas as PG o módulo da razão é menor que 1 ( $|q|<1$ ).
tem-se:
$S_{n}'= \frac{x}{1-x}, \, \, S_{n}''= \frac{\frac{x}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{x}{3}:\frac{3-1}{3}=\frac{x}{3}\cdot \frac{3}{2}=\frac{x}{2}$

$S_{n}'-S_{n}''= x\Leftrightarrow x= \frac{x}{x-1}-\frac{x}{2}=\frac{2x-(x-1)x}{2\cdot(1-x)}=\frac{2x-x+x^{2}}{2\cdot(1-x)}= \frac{x+x^{2}}{2\cdot(1-x)}$