Limite da soma

Se 0 < a < 1, então o limite da soma a+2a²+3a³+4a⁴+... vale

Resposta:

e) nenhuma das respostas anteriores

Só por curiosidade, também têm outro jeito de resolver, só que é um pouco mais demorado. Enfim....:

Você pode alinhar as variáveis em colunas conforme seu grau, assim a primeira coluna terá um termo, pois só há uma incógnita de grau um. Na segunda coluna terá dois, na terceira, três.....

Primeira coluna: a + a^2+ a^3 + a^4 + .......
Segunda coluna:       a^2+ a^3 + a^4 + ......
Terceira coluna:                 a^3 + a^4 + .......
Quarta coluna:                             a^4 + .......

Calculando a soma de cada linha através da soma de P.G. infinita: 

S1 = a/(1-a)
S2 = (a^2)/(1-a)
S3 = (a^3)/(1-a)
S4 = (a^4)/(1-a)
......

Note que as somas de cada linha também estão em P.G. infinita de razão a.
Calculando a soma das linhas obtemos a resposta: 
S = S1 + S2 + S3 + S4 + ....

S = a/(1-a)/(1-a)
Logo:
S = a/(1-a)^2