o limite da soma dos que o seguem se

por RamonLucas Qua 05 Jul 2017, 11:26

(EN) Cada termo da sequência ( 1, q, q2,q3,...) q ≠ 0, é igual a x vezes o limite da soma dos que o seguem se, e somente se

a) 1< x < 1
b) x> 1
c) x< -2 ou x > 0
d) x< -1 ou x > 1
e) 0 < x 1.

por **Victor011** Qui 06 Jul 2017, 10:38

\\\text{Soma de PG de primeiro termo}\;a_1\;\text{e raz\~ao q;}\\\\S_n=a_1.\frac{q^n-1}{q-1}

Para que exista o limite da soma, |q|<1, ou seja: -1 < q < 1 . Isso porque quando fazemos o n tender a infinito, qn tende a zero. Quando n tender a zero, a soma ficará assim:

S_n=\frac{a_1}{1-q}

Fazendo que a1=q, vamos dizer que o termo 1 da sequência é x vezes o limite da soma dos termos seguintes:

1=x.\frac{q}{1-q}\;\to\;1-q=x.q\;\to\;q=\frac{1}{x+1}

Usando agora que -1 < q < 1:

-1<\frac{1}{x+1}<1

Para escola naval, que não exige formalidade, já da para marcar a resposta, só analisando valores de x. Para resolver completamente, vamos quebrar a inequação em duas.

\\\bullet\;-1<\frac{1}{x+1}:\\\\se\;x>-1:\;-(x+1)<1\;\to\;x>-2\\\\Logo:\;\boxed{x>-1}\\\\se\;x<-1:\;-(x+1)>1\;\to\;x<-2\\\\Logo:\;\boxed{x<-2}\\\\\\\bullet\;\frac{1}{x+1}<1:\\\\se\;x>-1:\;10\\\\Logo:\;\boxed{x>0}\\\\se\;x<-1:\;1>x+1\;\to\;x<0\\\\Logo:\;\boxed{x<-1}

Fazendo a interseção dos intervalos da primeira inequação com os da segunda, teremos que:

\therefore\;\boxed{x<-2\;ou\;x>0}

o limite da soma dos que o seguem se

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