Valor da soma

por PlodX Ter 19 Jul 2011, 19:54

O valor da soma $S=(2+\sqrt{3})^{5}+(2-\sqrt{3})^{5}$ é igual a:
a)720
b)722
c)724
d)726
e)728

Spoiler:

por **Elcioschin** Ter 19 Jul 2011, 20:33

Qual é a sua dúvida?

Basta efetuar o desenvolvimento dos dois Binômios de Newton.

por **luiseduardo** Ter 19 Jul 2011, 20:37

Ou vc pode usar polinômios simétricos:

x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 + y^4) - xy(x³ + y³)

4.(x^4 + y^4) - (x³ + y³)

x^4 + y^4 = (x+y)(x³ +y³) - xy(x² + y²)
x^4 + y^4 = 4.(x³ + y³) - (x² + y²)

16(x³ + y³) - 4(x² + y²) - (x³ + y³)
15(x³ + y³) - 4(x² + y²)

.......

por PlodX Ter 19 Jul 2011, 20:42

Eu pensei no binômio de newton porém teria algum modo de sair por relações entre coeficientes e raízes da equação do segundo grau?

por **luiseduardo** Ter 19 Jul 2011, 20:47

raízes da equação do segundo grau ???

por PlodX Ter 19 Jul 2011, 20:52

Sim, pois esta questão está num capítulo de um livro que tenho e está dentro do capitulo de equações do segundo grau na parte de relações entre coeficientes e raízes.E eu não vi nenhum modo de sair por aí.

por Pablo Simões Ter 19 Jul 2011, 21:41

Por Binômio de Newton
Valor da soma Figure

por **luiseduardo** Ter 19 Jul 2011, 23:02

Por binômio sai, mas acho mais rápido por polinômios simétricos:

a = 2 + V3
b = 2 - V3

Sabemos que:

a + b = 4
a.b = 1

Por polinômios simétricos pode-se concluir que:

a^5 + b^5 = (a + b)(a^4 + b^4) - ab(a³ + b³)

a^4 + b^4 = (a + b)(a³ + b³) - ab(a² + b²)

a^3 + b^3 = (a + b)(a² + b²) - ab(a + b)

Só substituir valores nessas três equações e achamos o valor de a^5 e b^5.
Talvez essa seja a forma do livro.