Aritmética

por Gabriel da Silva Ortiz Qua 09 Jan 2019, 14:39

Um número natura ao ser dividido por 7 deixa resto 3 e, ao ser dividido por 11, deixa resto 7.O resto da divisão desse número por 77 é igual a:
a)52
b)73
c)0
d)4
e)indeterminado.

por **Elcioschin** Qua 09 Jan 2019, 15:02

N = 7.a + 3
N = 11.b + 7

7.a + 3 = 11.b + 7 ---> 7.a - 11.b = 4 ---> Equação Diofantina:

a = 11.k - 1 ---> b = 7.k - 1

N = 7.a + 3 ----> N = 7.(11.k - 1) + 3 ---> N = 77.k - 4
N = 11.b + 7 ---> N = 11.(7.k - 1) + 7 ---> N = 77.k - 4

Resto = 4

por **Emanoel Mendonça** Qui 10 Jan 2019, 18:17

Mestre, tenho algumas dúvida sobre a questão, o resto que o senhor calculou é -4, certo ? Por que na alternativa d) tem 4, e não -4 ? Isso me gera outra dúvida, nesse caso, a divisão não seguiria a regra de igualar as casas decimais pra evitar que o resto seja negativo, certo ?

por **Mateus Meireles** Qui 10 Jan 2019, 18:33

Acho que tem algo errado mesmo, lembro que quando resolvi essa questão tinha encontrado resto 73

por **Elcioschin** Qui 10 Jan 2019, 22:24

Eu interpretei errado o enunciado.

N = 7.a + 3 ---> N = 10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73 ......, 150
N = 11.b + 7 --> N = 18, 29, 40, 51, 62, 73, ......., 150

N = 73 ou N = 150 ---> Os números N constituem uma PA de razão 77

73 |77 ....... 150|77
73 |0 ...........73 |1

R = 73

por **Emanoel Mendonça** Qui 10 Jan 2019, 22:41

Obrigado mestre, nesse caso as equações diofantinas não são válidas, por que não respeita a forma padrão que é:

y = ax + by + c

Certo ?

E nesse caso, o único jeito de resolver seria pensando nas possíveis soluções, como você fez, certo ?

por **Elcioschin** Qui 10 Jan 2019, 23:00

São válidas sim. Minha interpretação errada foi apenas na última linha da minha solução original:

N = 77.k - 4 ---> Descoberto pela Diofantina

Para k = 1 --> N = _73
Para k = 2 --> N = 150
etc.