Aritmética

Ache dois números inteiros positivos a e b , sabendo que a sua soma seja 651 e que o quociente de seu MMC pelo MDC seja igual a 108.

RESPOSTA: 567 e 84

2k3d escreveu:Ache dois números inteiros positivos a e b , sabendo que a sua soma seja 651 e que o quociente de seu MMC pelo MDC seja igual a 108.

RESPOSTA: 567 e 84

Boa noite,

M = mmc
D = mdc

a+b = 651
M/D = 108

a/D = p → a=p.D
b/D = q → b=q.D

M = pq.D
M/D = pq.D/D
108 = pq
pq = 108 → q=108/p

==============

a = p.D
b = q.D

a+b = p.D + (108/p).D = (p + 108/p).D = [(p²+108)/p].D

651 = [(p²+108)/p].D

ab = pq.D²
ab = 108.D²
a+b = 651

Decompondo 651, obtemos:
651 = 3.7.31

Divisores de 651:
1_____3
7____21
31___63
217_651

Decompondo 108, obtemos:
108 = 2².3³

Divisores de 108:
1___3___9___27
2___6__18___54
4__12__36__108

Agora, analisando os divisores de 108, teremos que buscar, entre eles, pares cujos elementos, somados, resultem em um ou mais divisores de 651.
Pesquisando, então, encontramos:
9 e 12 → produto 108 → D=31 → descartaremos este, porque devemos ter p,q primos entre si e 9,12 não o são!
4 e 27 → produto 108 → D=21 → resta-nos, pois, o par: p=27 e q=4, com D=21.

Os números procurados são, portanto:
a = p.D = 4.21 = 84
b = q.D = 27.21 = 587






Um abraço.

Entendi ivolmilton , obrigado pela explicação.