Aritmética

As representações decimais dos números 2^1999 e 5^1999 são escritas lado a lado. O número de algarismos escritos é igual a:
a) 1999
b) 2000
c) 2001
d) 3998
e) 3999

Gabarito:

Spoiler:

Pode-se usar Função Máximo Inteiro.

1) O número de algarismos de 2^1999 = [log (2^1999)] + 1 = [1999.(log 2)] + 1 =
= [1999.(0,3)] + 1 = [599,7] + 1 = 599 + 1 = 600

2) O número de algarismos de 5^1999 = [log (5^1999)] + 1 = [1999.(log 5)] + 1=
= [1999.(0,7)] + 1 = [1399,3] + 1 = 1399 + 1 = 1400

3)O número de algarismos quando os dois número ficam lado a lado é:

N = 1400 + 600 = 2000

"Alternativa B".

2 ~ 10^0,3

(10^0,3)^1999 ~ 10^600


5 = 10/2 ~ 10^(1 - 0,3) = 10^0,7

(10^0,7)^1999 ~ 10^1400

1400 + 600 = 2000

O livro é de aritmética, seria possível a resolução sem o uso dessas fórmulas?

Rapidinho, se multiplicarmos 2^1999 por 5^1999:

(2^1999)*(5^1999) = (5*2)^1999 = 10^1999 = 20 algarismos

Fazendo uns testes dá pra ver que multiplicar 2 e 5 elevados a uma mesma potência dá o mesmo número de algarismo se fossem colocados lado a lado.
Mas deve haver algo melhor

Esse uso de Função Máximo Inteiro que eu fiz é facilmente demonstrado.
A fórmula é apenas uma consequência do raciocínio empregado, e é usada apenas para não precisar repetir um mesmo raciocínio toda vez que se resolve um problema igual.

Abaixo, farei a demonstração do teorema que eu utilizei na minha resolução.

Lembrando que:
A notação [x] indica o maior inteiro menor ou igual a x.
Exemplos: [2] = 2 ; [1,9] = 1 ; [2,1] = 2

Enunciado: "A quantidade de dígitos de um número inteiro positivo n é igual a
[log n] + 1."

Demonstração: Seja n um número inteiro positivo possuindo x dígitos, pode-se afirmar que:
10^(x-1) ≤ n < 10^x .
Aplicando logaritmo na base 10 nessa desigualdade, obtém-se:
log (10^(x-1)) ≤ log n < log (10^x ) <=> (x-1).(log 10) ≤ log n < x.(log 10) <=> x-1 ≤ log n < x
Lembrando da definição de função máximo inteiro dada no início da demonstração, vem que:
[log n] = x -1 <=> x = [log n] + 1.

C.q.d