Aritmética

por IIFaaMaazZII Ter 23 Jun 2015, 10:32

Sejam x e y números naturais.

1. Se o resto da divisão de x por 5 é 1 e o resto da divisão de y por 5 é 4, mostre que o resto da divisão de x+y por 5 é zero.
2. Determine o resto da divisão de x.y por 5.

Observação: Apresente todas as justificativas da resolução de ambas as alternativas.

por Rexory Ter 23 Jun 2015, 11:04

Pelo algoritmo da divisão, temos:
$D=d\cdot q+R$ , sendo D=dividendo, d=divisor, q=quociente e R=resto
1)
Se o resto da divisão de x por 5 é 1:
$x=5\cdot k_{1}+1$
Se o resto da divisão de y por 5 é 4:
$y=5\cdot k_{2}+4$

$x+y=$ $\left (5\cdot k_{1}+1 \right )+\left (5\cdot k_{2}+4 \right )=5\left ( k_{1}+k_{2}+1 \right )$ , logo:
$\frac{\left (x+y \right )}{5}=\frac{5\left ( k_{1}+k_{2}+1 \right )}{5}=k_{1}+k_{2}+1$ (resto 0)

2)
$x\cdot y=(5k_{1}+1)\cdot (5k_{2}+4)=25k_{1}k_{2}+20k_{1}+5k_{2}+4=5(5k_{1}k_{2}+4k_{1}+k_{2})+4$ , logo:

$\frac{x\cdot y}{5}=\frac{5(5k_{1}k_{2}+4k_{1}+k_{2})}{5}+\frac{4}{5}=\left (5k_{1}k_{2}+4k_{1}+k_{2} \right )+\frac{4}{5}$ , ou seja, o resto é $\mathbf{4}$

por **Carlos Adir** Ter 23 Jun 2015, 14:48

Outra maneira através de aritmética modular:
$\\ \mathrm{x \equiv 1 \pmod{5}} \\ \mathrm{y \equiv 4 \pmod{5}} \\ \mathrm{x+y \equiv 1+4 \equiv 0 \pmod{5}} \\ \mathrm{x \cdot y \equiv 1 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{5}}$