Proporção de volume e area

Um professor, com o objetivo de discutir com os alunos o conceito de proporcionalidade e
suas propriedades, apresentou a seguinte situação-problema.
Um grupo de doceiras encomendou caixas para guardar cajus cristalizados. A caixa modelo,
ilustrada na forma planificada na figura abaixo, tem a forma de um prisma reto cuja base é um
triângulo retângulo. O volume da caixa modelo é de 250 cm3
 e a área superficial, de 290 cm2
As doceiras encomendaram caixas de 3 tamanhos. Uma delas seria igual à caixa modelo e
as outras duas seriam confeccionadas da seguinte forma: uma triplicaria as medidas das arestas
da caixa modelo e a outra reduziria à metade as medidas das arestas da caixa modelo.
Com base nessas informações, os alunos deveriam preencher uma tabela. 
Sônia, uma das
alunas, apresentou a seguinte tabela.
        



                      Area da sup                      volume
                           (cm)2                               (cm3)

caixa modelo  290.                                   250
caixa ampliada 870.                                750
caixa reduzida 145.                                 125


Com base na situação hipotética apresentada, faça uma análise da tabela construída por Sônia, indicando os erros cometidos por ela
e apontando como chegar à resposta correta. Além disso, apresente uma proposta pedagógica que vise corrigir as concepções erradas
que a aluna mostrou possuir ao realizar a tarefa.
RASCUNH

A
A Sônia esqueceu que enquanto as arestas variam em uma única dimensão, as áreas variam com o quadrado da variacao nessa dimensão, e o volume varia ao cubo da variação nessa dimensão.

B
Todas as caixas são prismas semelhantes.
Propriedade da razão de semelhança:

1. a razão entre áreas de figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão entre lados homólogos
   
2. a razão entre volumes de sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão entre lados homólogos.
   

seja a a aresta da caixa modelo

para as caixas com arestas triplicadas (3a)
S/290 = [(3a)/a]² -----> S/290 = 3² -----> S = 2 610 cm²

V/250 = [(3a)/a]³ -----> V/250 = 27 -----> V = 6 750 cm³

para caixas com arestas à metade (a/2)
S/290 = [(a/2)/a]² -----> S/290 = 1/4 ------> S = 72,5 cm²

V/250 = [(a/2)/a]³ ------> V/250 = 1/8 ------> V = 31,25 cm³

C
proposta pedagógica é para professores; eu não o sou. Deixo para você fazer.
Vá lá uma ideia: passe no laboratório de química (se existir) e pegue dois béqueres com dimensões um o dobro do outro -- altura e diametro -- (se houver). Encha de água o maior e mostre quantas vezes ele consegue derramá-la e encher o menor.