Progressão Aritimétrica

por Pyro Seg 11 Jun 2018, 21:40

Calcule o valor das seguintes somas:

$Progressão Aritimétrica Png.latex?S_%7B1%7D%20%3D%201%5E%7B2%7D+2%5E%7B2%7D+3%5E%7B2%7D+..$
$Progressão Aritimétrica Png.latex?S_%7B2%7D%20%3D%201%5E%7B3%7D+2%5E%7B3%7D+3%5E%7B3%7D+..$

Resposta: $Progressão Aritimétrica Png$ $Progressão Aritimétrica Png$

por **fantecele** Seg 11 Jun 2018, 23:07

(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

2³ = 1³ + 3.1² + 3.1 + 1
3³ = 2³ + 3.2² + 3.2 + 1
4³ = 3³ + 3.3² + 3.1 + 1
...
n³ = (n-1)³ + 3.(n-1)² + 3.(n-1) + 1
(n+1)³ = (n)³ + 3.(n)² + 3.(n) + 1

Some isso tudo, perceba que irá ter temos que irão se cancelar durante a soma, um exemplo são aqueles coloridos ali.

(n+1)³ = 1³ + 3.(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3.(1 + 2 + 3 + ... + n) + n
(n+1)³ = 1³ + 3.(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3.(n).(n+1)/2 + n

Agora basta desenvolver isso e isolar a soma dos quadrados que chegará na resposta.

Repita essa ideia, mas agora levando em conta o desenvolvimento de (n + 1)^4.

por Pyro Ter 12 Jun 2018, 19:27

fantecele88 escreveu:(n+1)³ = n³ + 3n² + 3n + 1

2³ = 1³ + 3.1² + 3.1 + 1
3³ = 2³ + 3.2² + 3.2 + 1
4³ = 3³ + 3.3² + 3.1 + 1
...
n³ = (n-1)³ + 3.(n-1)² + 3.(n-1) + 1
(n+1)³ = (n)³ + 3.(n)² + 3.(n) + 1

Some isso tudo, perceba que irá ter temos que irão se cancelar durante a soma, um exemplo são aqueles coloridos ali.

(n+1)³ = 3.(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3.(1 + 2 + 3 + ... + n) + n
(n+1)³ = 3.(1² + 2² + 3² + ... + n²) + 3.(n).(n+1)/2 + n

Agora basta desenvolver isso e isolar a soma dos quadrados que chegará na resposta.

Repita essa ideia, mas agora levando em conta o desenvolvimento de (n + 1)^4.