Função do segundo grau

por **abelardo** Seg 06 Jun 2011, 21:56

A função $f(x)= ax²+bx+c$ tem raízes reais e simétricas. Sabe-se que a reta de equação $y=5$ intercepta a parábola corresponde em um único ponto e que $f(\sqrt{40})=3$ .
Quais são as raízes dessa função?

O que fiz: Pelo que foi dito sei que $\Delta > 0$ ; como a reta y=5 intercepta a parábola em um único ponto, logo ''considerei'' que ele passa pelo vértice da parábola; sei que o valor máximo da função é de 5 ... blá blá blá. Tentei fazer relações com as raízes, mas nada consegui. Sem gabarito.

por **Elcioschin** Seg 06 Jun 2011, 22:29

Função escrita errada. O correto é f(x) = ax² + bx + c

Raízes simétricas x' e x" = - x'

Girard

x' + x" = - b/a ----> x' - x' = - b/a ----> b = 0

x'*x" = c/a ----> x'*(-x') = c/a ----> x'² = - c/a

xV = - b/2a ----> xV = 0

yV = 5 ----> - D/4a = 5 ----> (4ac - b²)/4a = 5 ----> (4ac - 0)/4a = 5 ----> c = 5

f(x) = ax² + 5

f(\/40) = a*40 + 5 ----> 40a + 5 = 3 ---> 40a = - 2 ----> a = - 1/20

x'² = - c/a ----> x'² = - 5/(-1/20) ----> x'² = 100 ----> x' = 10

Raízes x' = 10 e x" = - 10

por **abelardo** Seg 06 Jun 2011, 23:09

Mestre, se a discriminante for maior que zero teremos duas raízes e nesse caso elas sempre serão simétricas?

por **Elcioschin** Ter 07 Jun 2011, 11:47

Não.

A simetria independe do sinal do delta (pode ser D > 0 ou D < 0). Só não pode ser D = 0

As raízes serão simétricas SOMENTE se b = 0

Isto significa que o eixo de simetria da parábola é o eixo Y.

Neste caso a distância (em módulo) da origem a cada ponto onde a parábola corta o eixo X (raízes) é a mesma.

Logo, as raízes tem o mesmo módulo e sinais contrários.

Isto vale tanto para raízes reais quanto para raízes complexas. Por exemplo, se uma raiz for x' = a + bi a outra será x" = a - bi (conjugada simétrica)