(PUC-RJ) - progressão aritmética

por Paulo Testoni Seg 07 Set 2009, 21:43

(PUC-RJ) A soma de todos os números naturais, até um certo número n ≥ 3:
a) está entre n e 2n.
b) está entre 2n e 3n.
c) está entre n e n2
e) é maior do que n².

por Jeffson Souza Ter 08 Set 2009, 02:34

Pergunta care de Puc mesmos.
Vou tentar.

Seja os números naturais {0,1,2,3...n}

an=a1+(n-1)*r

sn=[a1+a1+(nr-r)]*n/2

sn=(2a1+n²r-nr)/2

Como n≥ 3

0,1,2 tem que ser subtraidos da soma n

a3=a1+2r

s1=(a1+a1+2r)*3/2

s1=(2a1+6r)/2

s1=a1+3r

S=Soma de todos os números naturais ,até um certo número n ≥ 3.

S=sn-s1

S=[(2a1+n²r-nr)/2]-(a1+3r)

S=[(2a1+n²r-nr)-2*(a1+3r)]/2

S=[2a1+n²r-nr-2a1-6r]

S=[n²r-nr-6r]/2

S=[(n²-n-6)*r]/2

S=(n+3)*(n-2)*r/2

Vamos imaginar agora n=3 r=1

S=6*1*1/2

S=3 ----->= n

n=4

S=7*2*1/2

s=7-----> maior que n

n=5

S=8*3*1/2

S=12 ----->maior que o dobro de n

n=6

S=9*4/2

s=18 -----> =3n

Agora complicou ,mais pera ai!

vamos ver para n²

n²=(n+3)*(n-2)*r/2

r=1

2n²=n²-n-6

n²+n+6=0

não existe raíz real ∆<0.

Então ela tem um limite que não pode chegar a n²

Portanto ,está entre n e n².

Bateu com o gabarito?

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