Solução para equação geral 4º grau.

por Luiz 2017 Sáb 30 Set 2017, 19:37

Eis aqui um método infalível para resolução de equação do 3º grau do tipo:

ax^3 + bx^2 + cx + d = 0

Fazendo:

p = \frac{c}{a} - \frac{b^2}{3a^2}

e

q = \frac{2b^3}{27a^3} - \frac{bc}{3a^2} + \frac{d}{a}

Tem-se:

x_1 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot cos \left[\frac{1}{3} \cdot arccos \left(-\frac{q}{2} \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) \right]-\frac{b}{3a}

x_2 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot cos \left[\frac{1}{3} \cdot arccos \left(-\frac{q}{2} \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{2 \pi}{3} \right]-\frac{b}{3a}

x_3 = 2 \sqrt{-\frac{p}{3}} \cdot cos \left[\frac{1}{3} \cdot arccos \left(-\frac{q}{2} \sqrt{-\frac{27}{p^3}} \right) + \frac{4 \pi}{3} \right]-\frac{b}{3a}

Exemplo:

Seja a equação:

x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0

Neste caso:

a = 1
b = -6
c = 11
d = -6

Substituindo valorese realizando operações, vem:

x₁ = 2
x₂ = 3
x₃ = 1

Resolvendo pelo Wolfram-Alpha os valores batem, o que valida o método.

Este método foi desenvolvido por um português de nome Américo Tavares e a demonstração está disponível em https://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/13/resolucao-da-equacao-do-3-%C2%BA-grau-ou-cubica/

Pergunto: alguém aqui no fórum conhece algum método similar para resolver equação do 4º grau?

por **Giovana Martins** Sáb 30 Set 2017, 21:28

Tem a de Cardano-Tartaglia para equações do 3° grau. Para equações do quarto grau eu nunca vi.

por Luiz 2017 Sáb 30 Set 2017, 22:17

Não conheço o método de Cardano-Tartaglia. É parecido com o de Américo Tavares, acima?

por superaks Dom 01 Out 2017, 14:50

Existe solução para equações até de quarto grau. Lembro de ver como era a solução, era uma equação gigantesca. Infelizmente não consegui achar agora, mas basta procurar que existe sim um método para resolve-las

por Mathematicien Ter 03 Out 2017, 11:07

Para equações do quarto grau, você tem estas fórmulas bem simples, cujo processo completo até uma criança de 5 anos conseguiria seguir:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function#Solving_a_quartic_equation

Resumindo: é melhor usar os métodos convencionais mesmo. Hahahaha!!!

por Luiz 2017 Qua 04 Out 2017, 02:00

Mathematicien escreveu:Para equações do quarto grau, você tem estas fórmulas bem simples, cujo processo completo até uma criança de 5 anos conseguiria seguir:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function#Solving_a_quartic_equation

Resumindo: é melhor usar os métodos convencionais mesmo. Hahahaha!!!

5 anos..... não exagere!!! Valeu. Vou pesquisar.

por Luiz 2017 Qui 05 Out 2017, 13:29

Luiz 2017 escreveu:
Mathematicien escreveu:Para equações do quarto grau, você tem estas fórmulas bem simples, cujo processo completo até uma criança de 5 anos conseguiria seguir:

https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function#Solving_a_quartic_equation

Resumindo: é melhor usar os métodos convencionais mesmo. Hahahaha!!!

5 anos..... não exagere!!! Valeu. Vou pesquisar.

Com a indicação do amigo Mathematicien, no site do Wikipedia, em https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function#Solving_a_quartic_equation, acabei encontrando o que queria, qual seja, um método relativamente simples de resolução de equação do 4º grau do tipo:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Fazendo:

\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae

\Delta_1 = 3c^3 - 9bcd + 27b^2e +27ad^2 -72qce

p=\frac{8ac-3b^2}{8b^2}

q=\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3}

Q=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1+\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}

S=\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{2}{3}p+\frac{1}{3a}\left(Q+\frac{\Delta_0}{Q}\right)}

Tem-se:

x_1=-\frac{b}{4a}-S+\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p+\frac{q}{S}}

x_2=-\frac{b}{4a}-S-\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p+\frac{q}{S}}

x_3=-\frac{b}{4a}+S+\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p-\frac{q}{S}}

x_4=-\frac{b}{4a}+S-\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p-\frac{q}{S}}

Exemplo:

Seja a equação:

x^4+2x^3+3x^2-2x-1=0

Neste caso:

a=1
b=2
c=3
d=-2
e=-1

Substituindo valores e realizando operações, vem:

x_1=-1,174840748310089+1,6392806724722677i
x_2=-1,174840748310089-1,6392806724722677i
x_3=0,7005983464321038
x_4=-0,3509168498119255

Resolvendo pelo WolframAlpha os valores batem, o que valida o método.

por Luiz 2017 Qua 25 Out 2017, 00:04

Luiz 2017 escreveu:
Com a indicação do amigo Mathematicien, no site do Wikipedia, em https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function#Solving_a_quartic_equation, acabei encontrando o que queria, qual seja, um método relativamente simples de resolução de equação do 4º grau do tipo:

ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0

Fazendo:

\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae

\Delta_1 = 3c^3 - 9bcd + 27b^2e +27ad^2 -72qce

p=\frac{8ac-3b^2}{8b^2}

q=\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3}

Q=\sqrt[3]{\frac{\Delta_1+\sqrt{\Delta_1^2-4\Delta_0^3}}{2}}

S=\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{2}{3}p+\frac{1}{3a}\left(Q+\frac{\Delta_0}{Q}\right)}

Tem-se:

x_1=-\frac{b}{4a}-S+\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p+\frac{q}{S}}

x_2=-\frac{b}{4a}-S-\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p+\frac{q}{S}}

x_3=-\frac{b}{4a}+S+\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p-\frac{q}{S}}

x_4=-\frac{b}{4a}+S-\frac{1}{2}\sqrt{-4S^2-2p-\frac{q}{S}}

Exemplo:

Seja a equação:

x^4+2x^3+3x^2-2x-1=0

Neste caso:

a=1
b=2
c=3
d=-2
e=-1

Substituindo valores e realizando operações, vem:

x_1=-1,174840748310089+1,6392806724722677i
x_2=-1,174840748310089-1,6392806724722677i
x_3=0,7005983464321038
x_4=-0,3509168498119255

Acabei encontrando uma falha.

Note que se:

\left(\Delta_1^2-4\Delta_0^3\right)<0

o número Q será a raiz cúbica de um número complexo. É mole?

continuo com minha pergunta: alguém aqui no fórum conhece algum método simples para resolver equação do 4º grau?