PG - Produto termos - Noções de Mat

por MrRobot(fake) Sáb 16 Set 2017, 12:49

Olá, o resultado que cheguei não coincide com o gabarito do livro, queria saber se estou errado ou certo, e se eu estiver errado queria ver a resolução certa.
Att.

6.56) Considere a sequência dada por $a_{n}=2^{1-n}$ . Calcule o número x dado por:
$x=\prod_{i=1}^{4}a_{i}+\prod_{i=1}^{6}a_{i}$

por **Elcioschin** Sáb 16 Set 2017, 13:51

Sua postagem não está respeitando a Regra XI do fórum: faltou postar o gabarito, junto com o enunciado. Por favor, corrija.

E poste também a sua solução para podermos apontar o seu erro (se é que existe erro)

por MrRobot(fake) Sáb 16 Set 2017, 16:02

Deculpe-me, falha minha, acabei não percebendo.

Gabarito: $\frac{2017}{1024}$

Conclusão: $\frac{2^{9}+1}{2^{15}}$

Minha resolução:

Sendo:
$\prod_{i=1}^{n}a_{n} = P_{n}= a_{1}^{n}\cdot q^{\frac{n\cdot (n-1)}{2}}$

Tem-se:
$x= a_{1}^{4}\cdot q^{\frac{4\cdot (4-1)}{2}}+a_{1}^{6}\cdot q^{\frac{6\cdot (6-1)}{2}}$

da fórmula: $a_{n}=2^{1-n}$ , obtem-se a PG:
$(1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4};... ) \Rightarrow q=\frac{1}{2}$

Concluindo o cálculo de x:
$x=1^{4}\cdot (\frac{1}{2})^{6}+1^{6}\cdot (\frac{1}{2})^{15}= \frac{1}{2^{6}}+\frac{1}{2^{15}}=\frac{2^{9}+1}{2^{15}}$

por **Elcioschin** Sáb 16 Set 2017, 18:41

Não vejo erro na sua solução; vou resolver diferente:

a_n = 2^{1 - n}

a₁ = 2^{1 - 1} = 1
a₂ = 2^{1 - 2} = 1/2
a₃ = 2^{1 - 3} = 1/4
a₄ = 2^{1 - 4} = 1/8
a₅ = 2^{1 - 5} = 1/16
a₆ = 2^{1 - 6} = 1/32

x = 1.(1/2).(1/4).(1/8 ) + 1.(1/2).(1/4).(1/8 ).(1/16).(1/32)

x = [1.(1/2).(1/4).(1/8 )].[1 + (1/16).(1/32)]

x = (1/64).(1 + 1/512) --> x = (1/64).(513/512) ---> x = 513/32768 ---> x = (2⁹ + 1)/2¹⁵

Ou existe algum dado errado no enunciado ou o gabarito está errado!