Produto dos 242 primeiros termos

por Nat' Qua 08 Ago 2012, 10:26

Olá pessoal!

Alguém me ajuda com essa?

Calcule o produto dos 242 termos da sequencia (-2^60, 3^-60,2^59,-3^59,-2^58,3^-58,...).

Resp: -1.

Obrigada! ^^

por **Robson Jr.** Qua 08 Ago 2012, 13:32

Dividirei em duas sequências de 121 termos:

$\small \\ S_1:\left \{ -2^{60}; \ 2^{59}; \ -2^{58}; \ ... \ ; \ -2^{-59}; \ 2^{-60} \right \} \text{ (121 termos)} \\\\ S_2:\left \{ 3^{-60}; \ -3^{59}; \ 3^{-58}; \ ... \ ; \ -3^{59}; \ 3^{-60} \right \} \text{ (121 termos)}$

Agora eu dividirei a segunda sequência em outras duas: uma de 61 termos e a outra de 60:

$\small \\ S_2': \ \left \{ 3^{-60}; \ 3^{-58}; \ 3^{-56}; \ ... \ ; \ 3^{58}; \ 3^{60} \right \} \text{ (61 termos)} \\ S_2'': \ \left \{ -3^{59}; \ -3^{57}; \ -3^{55}; \ ... \ ; \ -3^{57}; \ -3^{-59} \right \} \text{ (60 termos)}$

Calculemos, agora, o produto dos termos de S₁, S₂' e S₂'':

S₁: A multiplicação de termos equidistantes dos extremos dá -1. A multiplicação de 120 termos equidistantes dos extremos (60 pares) dá (-1)^60 = 1. Multiplicando pelo termo central -2^0, o produto dá P = -1.

S₂': O produto dos termos equidistantes dos extremos dá 1. A multiplicação de 60 termos equidistantes dos extremos (30 pares) dá 1^30 = 1. Multiplicando pelo termo central 3^0, P = 1.

S₂'': O produto dos termos equidistantes dos extremos da 1. A multiplicação de 60 termos equidistantes dos extremos (30 pares) dá 1^30 = 1. Como não há termo central, P = 1.

1.1.(-1) = -1

A única dificuldade aqui é, uma vez separadas as três sequências, prever como se comportará os últimos termos de cada. Pelo menos pra mim foi a única parte não-imediata.