Calcule o ângulo

por RamonLucas Dom 27 Ago 2017, 21:03

Na figura, AB é um diâmetro, a corda AM é o lado do triângulo equilátero inscrito e BN o lado do quadrado inscrito. Calcule o ângulo
α, formado pelas tangentes PM e PN

Gabarito: x = 30º

por Eduardo Correa Hamilko Seg 28 Ago 2017, 17:47

Se NB é lado do quadrado inscrito, então NÔB = 90°. Do mesmo modo, sendo AM o lado do triângulo inscrito, AÔM=120°, portanto, o seu ângulo complementar BÔM é 60°. Com isso, o ângulo NÔM = NÔB + BÔM = 150°.
Além disso, sendo M e N pontos de tangência, os angulos OMP e ONP são retos.

Temos agora, o quadrilátero PMON, cujos ângulos internos são alpha, PNO, NÔM e PMO.
A soma desse ângulos deve ser 360°.
alpha + PNO + NÔM + PMO = 360°
alpha + 90° + 150° + 90° = 360°
alpha = 30°

por RamonLucas Seg 28 Ago 2017, 18:14

Eduardo Correa Hamilko escreveu:Se NB é lado do quadrado inscrito, então NÔB = 90°. Do mesmo modo, sendo AM o lado do triângulo inscrito, AÔM=120°, portanto, o seu ângulo complementar BÔM é 60°. Com isso, o ângulo NÔM = NÔB + BÔM = 150°.
Além disso, sendo M e N pontos de tangência, os angulos OMP e ONP são retos.

Temos agora, o quadrilátero PMON, cujos ângulos internos são alpha, PNO, NÔM e PMO.
A soma desse ângulos deve ser 360°.
alpha + PNO + NÔM + PMO = 360°
alpha + 90° + 150° + 90° = 360°
alpha = 30°

Eduardo, Muito obrigado pela ajuda. Não entendi a parte destacada acima. como fez ? Pode fazer um desenho por favor.

por **Elcioschin** Seg 28 Ago 2017, 18:24

O lado de um triângulo equilátero sempre subtende um arco de 120º na circunferência circunscrita a ele.

por Eduardo Correa Hamilko Seg 28 Ago 2017, 18:36

O ângulo ABC deve ser 60° por se tratar de um triângulo equilátero, logo, o arco AC é 120°. E consequentemente, o ângulo AÔC, deve ser igual a 120°. Ou seja, lado de um triângulo equilátero inscrito, forma um arco de 120° na circunferência e um ângulo de 120° com o centro da mesma.

(Me desculpe pelo desenho meio mal feito, é que estou sem geogebra)