Soma das raízes imaginárias de um polinômio

por Liliana Rodrigues Qua 09 Ago 2017, 15:59

A equação x^5 = 8x² possui duas raízes imaginárias, cuja soma é:
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

Eu tentei dessa forma:
x^5=8x² -> x³= 8 -> x=2, então 2 é uma raiz, e as outras duas raízes do polinômio x³-8=0 são imaginárias. Como uma imaginária sempre admite seu conjugado como raiz também, então a soma dessas duas raízes se anulariam, o que daria letra c). Por que esse pensamento está errado?
E como chegar na letra a)??

por AlessandroMDO Qua 09 Ago 2017, 16:20

Liliana Rodrigues escreveu:A equação x^5 = 8x² possui duas raízes imaginárias, cuja soma é:
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

Eu tentei dessa forma:
x^5=8x² -> x³= 8 -> x=2, então 2 é uma raiz, e as outras duas raízes do polinômio x³-8=0 são imaginárias. Como uma imaginária sempre admite seu conjugado como raiz também, então a soma dessas duas raízes se anulariam, o que daria letra c). Por que esse pensamento está errado?
E como chegar na letra a)??

Somente a parte imaginária vai se anular, a parte real continua...

x+yi + x-yi = 2x

por Isaac (Zac) Qua 09 Ago 2017, 16:28

Lembre-se que somente as partes imaginárias das raízes serão anuladas na soma, aí é onde está seu erro. Para se chegar na letra a, você pode encontrar as raízes complexas ou, simplesmente, usar as relações de Girard em x³-8 = 0.
Por Girard, a soma das raízes é: a + b + c = 0 ⇔ a + b = - c = -2