Polinômio e raízes imaginárias

por pliniotakashi Sex 08 Abr 2016, 14:59

Considere o polinômio de variável real p(x) = x³ - kx + 150, com k sendo um número natural fixo não nulo.
Se o número complexo z= 3 +ai é uma raiz de p (x) , em que a é um número real positivo e i é a unidade imaginária, então o valor do produto k.a é igual a:

A) 44.
B) 66.
C) 24
D) 96.

por **Elcioschin** Sex 08 Abr 2016, 16:09

Se (3 + a.i) é uma raiz ---> (3 - a.i) é a raiz conjugada

[x - (3 + ai)].[x - (3 - a.i)] = [(x - 3) - a.i].[(x - 3) + a.i] = x² - 6.x + a² + 9

x³ + 0.x² - ..... - k.x + ......... + 150 |x² - 6.x + (a² + 9)
x³ + 6.x² - (a² + 9).x + ................. |x + 6
-----------------------------------
...... 6.x² + (- k - a² - 9).x + .... 150
.... - 6.x² + 36.x - ....... - (6a² + 54)
-----------------------------------
...... (27 - k - a²).x - (6a² - 96)

6.a² - 96 = 0 ---> a = 4

27 - k - a² = 0 ---> 27 - k - 16 = 0 ---> k = 11

a.k = 44

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