Desigualdade

por Convidado Dom 16 Abr 2017, 13:51

Pense:

Prove
$Desigualdade Gif$
se x + y + z = xyz

por **gilberto97** Dom 16 Abr 2017, 16:17

Boa questão.

Consideremos três triângulos retângulos de alturas x, y e z, respectivamente, e bases unitárias. Desse modo, sendo A, B e C ângulos convenientes, temos que:

$Desigualdade Gif$

Mas x + y + z = xyz, assim:

$Desigualdade Gif.latex?tgA+tgB+tgC%20%3D%20tgA.tgB$

$Desigualdade Gif$

$Desigualdade Gif$

$Desigualdade Gif$

$Desigualdade Gif$

Seja $Desigualdade Gif$ uma função definida no intervalo $Desigualdade Gif$ . Pelo gráfico da função seno, nesse intervalo f(a) é estritamente côncava. Aplicamos agora a desigualdade de Jensen:

$Desigualdade Gif$

Como $Desigualdade Gif$ , o mesmo aplicando-se aos ângulos B e C, temos a desigualdade pedida:

$Desigualdade Gif.latex?%5Cfrac%7Bx%7D%7B%5Csqrt%7B1+x%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cfrac%7By%7D%7B%5Csqrt%7B1+y%5E%7B2%7D%7D%7D+%5Cfrac%7Bz%7D%7B%5Csqrt%7B1+z%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cleq%20%5Cfrac%7B3%5Csqrt%7B3%7D%7D%7B2%7D%5C%2C%20%5Cleft%20%28%20%5Ctextrm%7BQ.E.D$

por Convidado Dom 16 Abr 2017, 16:54

Isso aí.

por Convidado Dom 16 Abr 2017, 17:17

Há triângulos agudos tais que seus lados podem ser definidos por tangentes.
$Desigualdade Gif$

Se resume que tenho que provar isto:
$Desigualdade Gif$

Cauchy-Schwarz básico:
$Desigualdade Gif$

Válido para qualquer triângulo:
$Desigualdade Gif$

Usando as informações:
$Desigualdade Gif$
Interessante seu método. Por onde estudou?