Desigualdade III

por Nat' Ter 31 Jul 2012, 23:50

Boa noite gente! Alguém pode me ajudar com essa?

Mostre que para todo n>= 1994, Vale a desigualdade:

( 1- 1/1994³)( 1- 1/1995³)...( 1- 1/n³) > 1993/1994

Muito obrigada!:face:

por **Robson Jr.** Qui 02 Ago 2012, 00:13

Usarei o 1994 para ilustrar meu raciocínio. Considere a fatoração:

$\small \left ( 1-\frac{1}{1994^3} \right )=\left ( 1-\frac{1}{1994} \right )\left ( 1+\frac{1}{1994}+\frac{1}{1994^2} \right )=\left (\frac{1993}{1994} \right )\left ( 1+\frac{1}{1994}+\frac{1}{1994^2} \right )$

Aplicarei a fatoração em todas as parcelas:

$\small \left ({\color{Red} \frac{1993}{1994}} \right )\left ( 1+\frac{1}{1994}+\frac{1}{1994^2} \right ). \left ({\color{Red} \frac{1994}{1995}} \right )\left ( 1+\frac{1}{1995}+\frac{1}{1995^2} \right ). \left ({\color{Red} \frac{1995}{1996}} \right )\left ( 1+\frac{1}{1994}+\frac{1}{1994^2} \right )...$

Veja o que ocorre com o produto das frações em vermelho...

$\small \frac{1993}{1994}.\frac{1994}{1995}.\frac{1995}{1996}. \ ... \ \frac{n-2}{n-1}.\frac{n-1}{n}=\frac{1993}{n}$

Reescrevendo o problema:

$\small \\ \left ( 1+\frac{1}{1994}+\frac{1}{1994^2} \right ).\left ( 1+\frac{1}{1995}+\frac{1}{1995^2} \right ). \ ... \ .\left ( 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right ).\frac{1993}{n} > \frac{1993} {1994} \\\\ \left ( 1+\frac{1}{1994}+\frac{1}{1994^2} \right ).\left ( 1+\frac{1}{1995}+\frac{1}{1995^2} \right ). \ ... \ .\left ( 1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2} \right ) > \frac{n}{1994}$

O lado esquerdo é composto pelo produto de (n - 1994) + 1 parcelas maiores do que 1.

Vamos supor que as (n - 1994) + 1 parcelas são iguais a 1 para comparar com o lado direito da desigualdade:

$\small n-1994+1 \geq \frac{n}{1994} \\ \Leftrightarrow 1994n-1994^2+1994 \geq n \\ \Leftrightarrow 1993n \geq 1994^2-1994 \\ \Leftrightarrow 1993n \geq 1994(1993) \\ \Leftrightarrow n \geq 1994$ , condição garantida pelo enunciado.

Se o produto de (n - 1994) + 1 parcelas iguais a 1 são maiores ou iguais ao lado direito, o produto de (n - 1994) + 1 parcelas maiores que 1 só pode ser maior que o lado direito.

CqD

EDIT: Tá tarde. Depois eu tento fazer mais questões suas. Very Happy

por Nat' Qui 02 Ago 2012, 22:10

Robson, não entendi essa passagem:

"Vamos supor que as (n - 1994) + 1 parcelas são iguais a 1 para comparar com o lado direito da desigualdade:
n - 1994 + 1 >= n/1994"

Por favor você poderia me explicar novamente?