Desigualdade

por Blackmount Dom 06 Set 2015, 03:33

Demonstrar que se os números reais a1, a2, ..., an satisfazem a condição -1 < ai ≤ 0, i = 1, 2, ..., então para qualquer valor de n se compre a desigualdade:

(1 + a1)(1 + a2) ... (1 + an) ≥ 1 + a1 + a2 + ... + an

por **Carlos Adir** Dom 06 Set 2015, 08:54

Poderiamos sair da desigualdade de Bernoulli, mas creio que não seja necessário. Vamos fazer por indução então.
Se n=1, temos:
$\\ \mathrm{(1+a_1) \ge 1+a_1 \Rightarrow Ok}$
Se n=2, temos:
$\\ \mathrm{(1+a_1)(1+a_2) \ge? \ 1+a_1+a_2} \\ \mathrm{1+a_1+a_2+a_1a_2 \ge 1+a_1+a_2}$
Podemos verificar que é verdade para n=2 pois o produto a1a2 é positivo.
Então, se vale para todo n natural, então:
$\\ \mathrm{(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n) \ge 1+a_1+a_2+\cdots+a_n}$
Então vale também para (n+1):
$\\ \mathrm{{\color{Red} \left[(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n) \right ]}(1+a_{n+1}) \ge } \\ \mathrm{\ge {\color{Red} \left[1+a_1+a_2+\cdots+a_n \right ]}(1+a_{n+1})=} \\ \mathrm{= \left[1+a_1+a_2+\cdots + a_n+a_{n+1} \right ]+a_{n+1}\left(a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n \right )=} \\ \mathrm{=\left[1+a_1+a_2+\cdots+a_{n+1} \right ]+a_1a_{n+1}+\cdots+a_{n}a_{n+1} \ge} \\ \mathrm{\ge \left(1+a_1+a_2+\cdots+a_{n}+a_{n+1} \right )}$
Ou seja, vale para todo n natural. Podemos perceber a passagem da quarta para quinta linha que é verdade pois o produto a_(n+1)a_1 + ... + a_(n+1)a_n sempre será positivo.

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