Raízes da Equação

por Presa Qui 15 Dez 2016, 10:54

Se r e s são raízes ax²+bx+c = 0, a ≠ 0, o valor de r⁴+r²s² +s⁴ é :

Raízes da Equação 2h31x02

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Gabarito Letra E

por **petras** Qui 15 Dez 2016, 12:15

S = r+s = -b/a
P = r.s = c/a
r²s² = c²/a²

(r+s)² = (-b/a)² --> r² + 2rs +s² = b²/a² --> r² + s² = b²/a² - 2rs --->

r² + s² = b²/a² - 2c/a

(r² + s²)² = (b²/a² - 2c/a)² --->

r⁴ +2r²s² + s⁴ = b⁴/a⁴ - 4b²c/a³ + 4c²/a² --->

r⁴ + s⁴ = b⁴/a⁴ - 4b²c/a³ + 4c²/a² - 2 r²s² -->

r⁴ + s⁴ = b⁴/a⁴ - 4b²c/a³ + 4c²/a² - 2 c²/a² --->

r⁴ + s⁴ = b⁴/a⁴ - 4b²c/a³ + 2c²/a² --->

Portanto r⁴ + s⁴ + r²s² = b⁴/a⁴ - 4b²c/a³ + 2c²/a² + c²/a²

r⁴ + s⁴ + r²s² = b⁴/a⁴ - 4b²c/a³ + 3c²/a² --->

r⁴ + s⁴ + r²s² = (b⁴ - 4ab²c + 3a²c²)/a⁴ = (b⁴ - 3ab²c - ab²c + 3a²c²)/a⁴ --->

r⁴ + s⁴ + r²s² = b²(b² - 3ac) - ac(b²-3ac) /a⁴ = (b²-3ac) (b²-ac) /a⁴

por EsdrasCFOPM Qui 15 Dez 2016, 12:31

r⁴+s⁴+r²s²

Relações de girard

r+s=-b/a
(r+s)²=(-b/a)²r²+2rs+s²=b²/a²r²+s²=b²/a²-2rs

r.s=c/a -->r²s²=c²/a²

r²+s²=b²/a²-2(c/a)

(r+s)⁴=-b/a

r⁴+4r³s+6r²s²4rs³+s⁴=b⁴/a⁴r⁴+s⁴+rs(4r²+6rs+4s²)=b⁴/a⁴r⁴+s⁴=b⁴/a⁴-rs[4(r²+s²)+6rs]
r⁴+s⁴=b⁴/a⁴-(c/a)[4(b²/a²-2c/a)+6c/a]
r⁴+s⁴=b⁴/a⁴-4cb²/a³+2c²/a²

r⁴+s⁴+r²s²b⁴/a⁴-4cb²/a³+2c²/a²+c²/a²
b⁴/a⁴-4cb²/a³+3c²/a²
E)(b²-ac)(b²-3ac)/a⁴
(b⁴-3ab²c-ab²c+3a²c²)/a⁴
(b⁴-4ab²c+3a²c²)/a⁴
b⁴/a⁴-4cb²/a³+3c²/a²=b⁴/a⁴-4cb²/a³+3c²/a²

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