Considere os vetores

w = ( 1;         1;          1 )


u t = ( t.cos(θ); t.sen(θ); 2t )

v s = (- s.sen(θ); s.cos(θ); 0 )
------------------------------------


( 1 - t.cos + s.sen; 1 - t.sen - s.cos; 1 - 2t )



Perfeito !


Esse vetor precisa ser paralelo ao (u x v):



( 1 - t.cos + s.sen; 1 - t.sen - s.cos; 1 - 2t ) = k ( -2cosθ ; -2senθ ; 1 )

Vai daí ?

Eu monto um sistema ? E o K ? Vai me atrapalhar quando for achar o t e o s no sistema ? Ou a resposta vai ser em função de K mesmo ?

Sim, um sistema.

O k pode ficar.

Só se pede a direção do vetor. Nem sentido nem módulo.

Manda bala !

Fico aguardando !

Vamos lá !

( 1 - t.cos(θ)+ s.sen(θ); 1 - t.sen(θ) - s.cos(θ); 1 - 2t ) = k ( -2cos(θ) ; -2sen(θ) ; 1 )


1 - t.cos(θ) + s.sen(θ) = -2kcos(θ)

1 - t.sen(θ) - s.cos(θ) = -2ksen(θ)

1 - 2t = k





Com sono cheguei a:


Para sen(θ) ≠ 0 :


s = cos(θ) - sen(θ)


t = ( 2 + cos(θ) + sen(θ) ) / 5


Quando descansar vou dar uma conferida e verificar as respostas.

Aguardando notícias suas, também.

Travei no sistema :
*Já substituindo o K nas equações.

1+cosθ(2-5t) + Ssenθ=0
1+senθ(2-5t) - Scosθ=0

treivan,

teste:

s = cos(θ) - sen(θ)

t = ( 2 + cos(θ) + sen(θ) ) / 5

Veja se com estes valores de "t" e "s" se consegue o requerido.

Fiz e funcionou.

Para mim, é a sua resposta.

Mas, teste você mesmo !

Ao multiplicar vetorialmente o vetor c, com estes valores dos parâmetros, pelo vetor (u x v),  vai dar "ZERO", evidenciando que são paralelos, logo, ortogonal ao vetores u,v

Depois, me conte o resultado ... (nota)

Consegui agora...
t= cos+sen+2/5
s= cos-sen


Muito bom!
Muito obrigado pela atenção!

Bem,

Conferi e testei .

Tudo certo !

Resposta final:

s = cos(θ) - sen(θ)

t = ( 2 + cos(θ) + sen(θ) ) / 5

Verificando:

a) Substituindo:

c = {

   1-((2+cos(θ)+sen(θ))/5)*cos(θ)+(cos(θ)-sen(θ))*sen(θ),

   1-((2+cos(θ)+sen(θ))/5)*senθ -(cos(θ)-sen(θ))*cosθ,

   1-2*(2+cos(θ)+sen(θ))/5

}

b) Testando se c x (u x v) = 0  , isto é,   c  //  (u x v) :

c x (u x v) =

x = 1-cos²(θ)-sen²(θ) = 1 - 1 = 0

y = -1+cos²(θ)+sen²(θ) = -1 + 1 = 0

z = 2cos(θ)-2cos³(θ)-2sen(θ)+2cos²(θ) sen(θ)-2cos(θ)sen²(θ)+2sen³(θ)

= -2 (cos(θ)-sen(θ)) (sen²(θ)+cos²(θ)-1) = 0

c x (u x v) = (0; 0; 0) ---> Verificado !


Resumindo a trabalheira:

Se quer um vetor c, parametrizado em s e t, ortogonal aos vetores u, v.

Achou-se o produto vetorial entre (u,v) que é um vetor ortogonal aos dois.

Calculamos t e s para que c fosse paralelo ao vetor (u x v).

Verificamos a condição de paralelismo entre c e (u x v) através de:


c x (u x v) = 0

Calculando-se  as componentes (x,y,z), chegou-se a expressões trigonométricas, que, com conhecimento de identidades trigonométricas, produto notáveis e fatorações, foram confirmadas, as componentes, serem todas identicamente nulas.

Puf !

E cadê você ? ?