UERJ - Trigonometria

por hugo araujo Sex 02 Set 2016, 18:07

A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig.1).
Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10V3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento da planta. Determine:

a) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta; Resposta = 10 cm

b) o comprimento, em cm, do arco AB. Resposta = 10∏/3 cm

UERJ - Trigonometria 5macgl

Na letra a eu tentei usar a relação trigonométrica do triângulo retângulo - quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. H² = m.n

10V3 = 10 . OC

Qual é o erro do meu raciocínio ?

por **Elcioschin** Sex 02 Set 2016, 18:46

Seja C o ponto onde a haste toca a superfície, na fig 1 (e na fig 2 onde a linha preta vertical toca a superfície)

Seja OC = h ---> AC = 10 ---> OA = h + 10

BC = 10.√3

OB = OA ---> OB = h + 10

OB² = OC² + BC² ---> (h + 10)² = h² + (10.√3)² ---> h = 10

No triângulo retângulo OCB ---> OC = 10 ---> OB = 20 ---> BÔC = 60º = pi/3

arco AB = raio OB * ângulo BÔC

arco AB = 20 * pi/3

arco AB = 20.pi/3 ---=> Acho que o gabarito está errado

por hugo araujo Sex 02 Set 2016, 19:54

Obrigado Élcio, entendi perfeitamente sua resolução. Creio que o gabarito da letra B esteja errado.

No entanto, porque o meu raciocínio estava errado ?

UERJ - Trigonometria Ifx3qt

por rihan Sex 02 Set 2016, 20:21

hugo araujo escreveu:A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig.1).
Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10V3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento da planta. Determine:

a) a profundidade do lago no ponto O em que se encontra a raiz da planta; Resposta = 10 cm

b) o comprimento, em cm, do arco AB. Resposta = 10∏/3 cm

Na letra a eu tentei usar a relação ~~trigono~~métrica do triângulo retângulo - quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. H² = m.n

10V3 = 10 . OC

Qual é o erro do meu raciocínio ?

1) A relação é métrica (Pitágoras e Thales)

2) Para valer tem que HAVER um triângulo retângulo, e, no caso, o triângulo ABO não o é, ele é equilátero.

3) H² = m.n

H² = m.n

10V3 = 10 . OC

H = 10V(3)

H² = 3.10² = 300

Você esqueceu de achar o quadrado de H.

Sendo tópico TRIGONOMETRIA, vamos usá-la:

1) Triângulo Retângulo ACB (30°; 60°; 90°)

Ou pela tan(Â) ou por saber que quando o cateto é V(3) vezes o outro, o triângulo é 30-60-90, ou melhor, é "metade" de um triângulo equilátero de lado 20.

Como o que queremos é metade do lado do equilátero, OC:

OC = 10 cm

por hugo araujo Sex 02 Set 2016, 20:43

Obrigado, Rihan.

Nesse caso, como você esboçou, sabendo que formaria um triângulo equilátero, séria mais prático encontrar a resposta correta.

por rihan Sáb 03 Set 2016, 01:53

A maioria das questões de concursos versam sobre triângulos (30-60-90), (45-45-90) e pitagórico(3-4-5).

Como o tempo é fator IMPORTANTÍSSIMO nos concursos, economize-o.

Pense num quadrado, divida-o com as diagonais e reflita sobre os triângulos que se formam.

Faça o mesmo para um triângulo equilátero, traçando alturas (medianas, bissetrizes e mediatrizes).

Fique íntimo desses indivíduos, eles sempre vão aparecer por aí... para você resolver os problemas deles, melhor se tornar íntimo.