Semelhança de Poligonos

Um trapézio de bases 4cm e 13 cm, tem altura 12 cm. A 2 cm das bases são traçadas pararelas a elas. Determine a soma das medidas dos segmentos dessas paralelas compreendidos entre os lados oblíquos do trapézio

Trace o trapézio com a base menor AB em cima e maior CD em baixo.

Por A e B trace perpendiculares aCD nos pontos G e H

Seja MN a paralela superior e M'N' os contatos dela com AG e BH: AM' = BN' = 2

Seja PQ a paralela inferior e P'Q' os contatos dela com AG e BH: GP' = HQ'' = 2

M'P' = N'Q' = 8 ---> GH = AB = 4

Fazendo PP' = a, MM' = b, NN' = c,  QQ' = d. DG = x, CH = y

2/b = (8 + 2)/a = 12/x ---> 1/b = 5/a = 6/x ---> x = 6a/5 = 6b

2/c = (8 + 2)/d = 12/y ---> 1/c = 5/d = 6/y ---> y = 6c/5 = 6d

x + 4 + y = 13 --> x + y = 9

1) 6a/5 + 6c/5 = 9 ---> a + c = 15/2

2) 6b + 6d = 9 ---> b + c = 3/2

S = a + b + c + d ---> S = 15/2 + 3/2 ---> S = 9

Note que S é igual à diferença entre as bases: 13 - 4 = 9

Use semelhanças.
Tente concluir .

Outro modo, aproveitando o desenho do Raimundo.



CONCLUSÃO.
Num triângulo, a soma de quaisquer dois segmentos tomados à mesma distância da base e do vértice é igual a medida da base.
No trapézio, será igual a diferença das bases.
Isto acontece porque os lados oblíquos são retas, as figuras formadas são semelhantes e a variação da nova base com a respectiva altura é linear. Assim, o que se "perde" de um lado "ganha-se" do outro.

encantada com a explicação

Desculpem o contratempo mas vejo agora que minha mensagem anterior contém erro: para o caso do trapézio negligenciei a medida da base menor que ficou "embutida" duas vezes, uma em x e outra em y.

Sendo; B=base maior; b=base menor; m1 e m2 as medidas das paralelas (as quais simplificamos no triângulo para x e y); o correto é:

m1 = x + b
m2 = y + b

x + y = a = B - b ................................ onde chegamos no triângulo
(x+b) + (y+b) = B - b + b + b ............ situação para o trapézio
.:. m1 + m2 = B + b

Portanto, para o caso do trapézio, a soma dessas medidas m é igual à soma das bases. E só poderia mesmo ser pois considere que a base média é (B+b)/2 e se formos aproximando as paralelas teremos duas vezes a base média.
O restante da mensagem anterior não se altera.