Semelhança polígonos

os lados de dois heptágonos regulares medem 8 m e 15 m.Quanto deve medir o lado de um terceiro heptágono , também regular , para que sua área seja igual à soma das áreas dos dois primeiros ?

Resposta:

a = 8 ---> b = 15 ---> θ = 360º/7
r, R = raios das circunferências circunscritas
c = ?

Lei dos cossenos:

a² = r² + r² - 2.r².cosθ ---> 8² = 2.r².(1 - cosθ)
b² = R² + R² - 2.R².cosθ ---> 15² = 2.R².(1 - cosθ)

R²/r² = (15/8 )² ---> R²/r² = 225/64

Sa = r².senθ/2 ---> 
Sb = R².senθ/2 ---> Sb = (225/64).r².senθ/2

Sa + Sb = r².senθ/2 + (225/64).r².senθ/2 ---> Sa + Sb = (289/64).r².senθ/2 ---> 

Sa + Sb = (17/8 ).r².senθ/2 


c = 17

Outro modo.
Usando a razão de semelhança para polígonos semelhantes. Primeiro relacionando A1 com A2; depois, A3 com A2.

Valeu, Raimundo. Eu não tinha visto essa resposta e por isso não tive a ideia de procurar; também não tenho e "nem nunca" li esse livro.

Quanto mais respostas para um tópico, melhor. Mas ainda gosto mais da minha porque, a par de exigir um pouco menos de conta aritmética, deixa evidente a analogia com o triângulo retângulo onde a área sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas sobre os catetos. E a partir daqui podemos generalizar para outros lados e polígonos quaisquer, desde que todos regulares -- então, dados dois lados, basta faze-los catetos de um triângulo retângulo e a hipotenusa será o lado do terceiro.