polígonos .

Considere (P) um polígono regular de n lados. Suponha que os vértices de (P) determinem 2n triângulos, cujos lados, não são lados de (P). O valor de n é:


R:8

Estou em dúvida também, alguém sabe?

Somos 3 em dúvida então e a resposta no meu gabarito é 6 e não 8.

Olá.

O número total de triângulos é Cn,3.
O número de triângulos que tem apenas um lado nos lados do polígono é n.
O número de triângulos que tem 2 lados nos lados do polígono é n*(n-4).

Então:

Cn,3 - n - n*(n-4) = 2n .:. Cn,3 - n - n² + 4n = 2n .:. Cn,3 = n²-n .:.
n*(n-1)*(n-2) = 6*n*(n-1), n diferente de 0: n² - 2n - n + 2  = 6n - 6 .:.
n² - 9n + 8 = 0 .:. n = (9 +- 7)/2 .:. n = 8 ou n = 1

n = 1 não serve, ficamos com n = 8.

Att.,
Pedro

Não sei se posso reabrir esse tópico caso não desculpe-me, mas realmente não queria postar essa dúvida de novo, poderia me explicar o motivo de triângulos com 2 lados serem iguais a n*(n-4)? Pelo que pensei seria triângulos com 1 lado que seria igual a n*(n-4), pois fixado um lado não posso usar os 2 vértices adjacentes e como já usei 2 vértices ao fixar um lado, logo ficaria (n-4) como são n lados:n*(n-4), mas isso seria para triângulos com 1 lado junto do polígono, para triângulos de 2 lados junto ao polígono..bem essa é uma das minhas dúvidas a princípio pensei em 3*n (pois podemos usar n vértices a partir dai abri em 3 casos, o vértice adjacente da direita que irá se ligar ao seu outro vértice adjacente, depois o mesmo para o vértice adjacente da esquerda que se ligará a seu vértice adjacente da esquerda e por fim escolhendo qualquer um dos vértices adjacentes e ligando este ao vértice oposto, formando um triângulo com o vértice escolhido e os dois adjacentes).Bem espero que eu tenha conseguido passar minha dúvida, e desculpe-me caso eu não possa reabrir algum tópico.Grato

Minha resolução estava parcialmente correta.

Faça um desenho para o caso onde n = 4 e n = 5 que você irá perceber:

2 lados no polígono: n
1 lado no polígono: n se for um quadrado e n*(n-4) para os restantes

Att.,
Pedro

Tendi obrigado

Em relação a dois lados nas arestas podemos pensar da seguinte maneira: número de escolha de lados: n. Número de escolhas do lado vizinho ao escolhido anteriormente :2. Assim, para cada lado escolhido, formaremos dois triângulos. Mas, dois lados vizinhos possuem um triang em comum. Logo, todos os lados possuirão 1 x  n triangs em comum. Total: 2n - n = n triangs com dois lados nas arestas adjacentes.

PedroCunha escreveu:Olá.

O número total de triângulos é Cn,3.
O número de triângulos que tem apenas um lado nos lados do polígono é n.
O número de triângulos que tem 2 lados nos lados do polígono é n*(n-4).

Então:

Cn,3 - n - n*(n-4) = 2n .:. Cn,3 - n - n² + 4n = 2n .:. Cn,3 = n²-n .:.
n*(n-1)*(n-2) = 6*n*(n-1), n diferente de 0: n² - 2n - n + 2  = 6n - 6 .:.
n² - 9n + 8 = 0 .:. n = (9 +- 7)/2 .:. n = 8 ou n = 1

n = 1 não serve, ficamos com n = 8.

Att.,
Pedro

Sobre essas 3 primeiras afirmações
Isso tem em algum livro, apostila ou algo assim ou você as inferiu testando?

Para formar os triângulos do enunciado é necessário escolher três vértices não adjacentes.Trata-se de um problema envolvendo o segundo lema de Kaplansky,pois se tem a escolha de elementos não-adjacentes em um ciclo(polígono).
Pelo lema:


n é o número de vértices do polígono e p=3.

Dessa forma:
[latex]\frac{n}{n-3}\cdot \frac{(n-3)!}{3!(n-6)!}=2n[/latex]

Assim,n=8.

OBS:se não souber a fórmula do segundo lema de cabeça,uma vez que o assunto é raro de cair em provas,basta aplicar o primeiro lema duas vezes numerando os vértices de 1 a n.Em um primeiro caso,sem contar o vértice número um e no outro considerando este vértice e somando as possibilidades totais.