Semelhança de poligonos ou triangulos

Bom Dia! Gostaria de uma explicação a respeito do motivo pelo qual as afirmações abaixo supostamente estao corretas.

(Fuvest 95) No quadrilátero ABCD a seguir, ABC=150°, AD=AB=4cm, BC=10cm, MN=2cm, sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:
R: c) 20

Em respostas, dizem que:


Temos CM/CD = CN/CB = 1/2 
Como o angulo C é comum, concluimos que o triangulo CMN é congruente ao triangulo CDB.

Dessa forma MN/DB = 1/2 

DB = 2MN = 4, ai concluimos que o triangulo ABD é equilatero, então o angulo B ente os lados A e D = 60º...
Sendo assim a media do angulo B entre os lados D e C = 150º - 60º = 90º e:

Área do triangulo BCD = BD.BC/2 
Área do triangulo BCD = 4.10/2
Área do triangulo BCD = 20 cm²

Pergunta-se:

Se os angulos cbd e cdb valem 90, a soma dos angulos internos do triangulo ultrapassa 180! Pode isso Arnaldo?

Como é possivel calcular a area fazendo lado x lado / 2 ? pois bd e bc sao lados, nao altura.

EM nenhum momento da questão estava explícito, ou nem mesmo implícito que o ângulo cdb vale 90º, isso foi erro de interpretação da sua parte .

cbd vale 90º. a definição de altura em relação à um lado é '' semi-reta traçada de um vértice ao lado oposto, de modo que essa semi-reta seja perpendicular à esse lado oposto '' , sendo assim,se um lado é perpendicular ao outro lado, o primeiro, é considerado além de lado, altura do triângulo .

Outra forma de calcular àrea é : L1.L2.sen\theta.1/2

onde theta, é o angulo entre os lados. 

se theta=90º, sen\theta=1 e S=L1.L2/2

Se o triangulo BAD é equilatero, e cada angulo equivale a 60 graus, logo, o angulo dbc e bdc sao 90, pois abc equivale a 150.

Alem do mais, a soma dos angulos complementares de um quadrilatero nao tem que ser 180? 

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Não entendo de onde está tirando que o ângulo ADC, também mede 150º, se isso fosse verdade, esse quadrilátero seria um paralelogramo, e AD=BC, AB=DC, e isso além de tudo, implicaria não só qe é um paralelogramo como um quadrado com 2 ângulos de 150º, constituindo assim, um absurdo .

quando vc divide um quadrilátero ao ''meio'', forma-se 2 triângulos, o fato de um desses dois triângulos ser equilátero NÃO implica, que o outro também é equilátero .

é possível que aconteça em alguns casos, como um  quadrado, mas NÃO NECESSÁRIO.