Plano inclinado girando

por ViniciusAlmeida12 Dom 08 maio 2016, 23:07

Um plano inclinado de angulo θ gira em torno de um eixo vertical fixo com velocidade angular ω. Um corpo de massa m é colocado no extremo inferior do plano inclinado e está a uma distância R do eixo de giro. Encontre o coeficiente de atrito mínimo, entre o corpo e a superfície do plano, que permita com que a massa m se mantenha sobre o plano inclinado.

por **gabrieldpb** Sáb 14 maio 2016, 20:46

Observe a figura. Fatx está entrando no plano da figura:

Plano inclinado girando 118ok8j

Sabemos que F_{at}\leqslant N \mu

Resultante tangencial é zero, pois a velocidade tangencial wR é contante, logo aceleração tangencial é zero.

Fatx=0, logo Fat=Faty

Resultante centrípeta:
F_{cp}=\frac{mv^2}{R}=m\omega ^2 R

F_{at y}\cos{\theta}-N\sin{\theta}=m\omega ^2 R

F_{at}\cos{\theta}-N\sin{\theta}=m\omega ^2 R

Resultante vertical nula (equilíbrio):
F_{at}\sin{\theta}+N\cos{\theta}=mg

Resolvendo as duas últimas:
F_{at}=m\omega^2 R\cos{\theta}+mg\sin{\theta}
N=mg\cos{\theta}-m\omega^2R\sin{\theta}

Substituindo na inequação do início:
m\omega^2R\cos{\theta}+mg\sin{\theta} \leqslant (mg\cos{\theta}-m\omega^2 R\sin{\theta})\mu

\mu \geqslant \frac{m\omega^2R\cos{\theta}+mg\sin{\theta}}{mg\cos{\theta}-m\omega^2 R\sin{\theta}}

\mu \geqslant \frac{\omega^2R+g\tan{\theta}}{g-\omega^2 R\tan{\theta}}

\mu_{min} = \frac{\omega^2R+g\tan{\theta}}{g-\omega^2 R\tan{\theta}}

Tem gabarito? Abraço!

por ViniciusAlmeida12 Sáb 14 maio 2016, 22:52

Não tenho gabarito, infelizmente.
Qual a direção e o sentido da força de atrito antes da decomposição de forças? E pq ela está atuando nessa direção e sentido? Não compreendi essa parte.
Muito obrigado!

por **gabrieldpb** Sáb 14 maio 2016, 23:19

Direção: A mesma da superfície inclinada.
Sentido: A determinar. Depois eu descobri que era no sentido de "subindo" o plano inclinado.

Se a velocidade angular não fosse constante a componente da Fat perpendicular a figura não seria nula, afinal alguma coisa teria que originar essa aceleração tangencial.

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