Assíntotas horizontais

por **Claudir** Dom 08 maio 2016, 22:47

Considere a função real $f(x)=\left ( \frac{\pi}{2}-arctgx \right )(5x+3)$ . Utilize os limites de f(x) tendendo a +∞ e -∞ para determinar as assíntotas horizontais do gráfico de f(x), se existirem.

Spoiler:

por **gabrieldpb** Sáb 14 maio 2016, 21:22

\lim_{x\rightarrow +\infty}(\frac{{\pi}}{2}-\arctan{x})(5x+3)

Vamos utilizar a notação de Grande-O, utilizando termos da expansão de x para +∞

\arctan{x}=\frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} + O(x^{-2})

\lim_{x\rightarrow +\infty}(\frac{{\pi}}{2}-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{x}+O(x^{-2}))(5x+3)

\lim_{x\rightarrow +\infty}(\frac{{\pi}}{2}-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{x}+O(x^{-2}))(5x+3)

\lim_{x\rightarrow +\infty}(5+\frac{3}{x}+5xO(x^{-2})+3O(x^{-2}))

\lim_{x\rightarrow +\infty}5+\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{3}{x}+\lim_{x\rightarrow +\infty}O(x^{-1})+\lim_{x\rightarrow +\infty}O(x^{-2})=5

Para x tendendo a menos infinito:

\lim_{x\rightarrow -\infty}(\frac{{\pi}}{2}-\arctan{x})(5x+3)

\lim_{x\rightarrow -\infty}(\frac{{\pi}}{2}-\arctan{x})\lim_{x\rightarrow -\infty}(5x+3)

(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}))(-\infty + 3)=\pi\cdot (-\infty)=-\infty

A única assíntota portanto y=5.

Abraço!

Obs.: Se você não sabe a notação de O-grande, então dá uma olhada aqui
https://pt.wikipedia.org/wiki/Grande-O
http://www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmos/aulas/Oh.html

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