(INSPER) Polinômio

por **Giovana Martins** Sex 01 Abr 2016, 20:55

Considere dois polinômios do 1° grau P(x) e Q(x), ambos de coeficientes reais, tais que P(3)=Q(3)=0, P(6)>0 e Q(6)>0. Sendo f a função definida, para todo x∈ℝ, por f(x)=P(x).Q(x), a única figura, dentre as apresentadas a seguir, que pode representar o gráfico de f é:

(INSPER) Polinômio 25hetz4

por **Claudir** Sex 01 Abr 2016, 21:22

f(3) = P(3).Q(3) = 0
f(6) = P(6).Q(6) > 0

O único gráfico que se adequa às condições acima é o da alternativa D.

por **Claudir** Sex 01 Abr 2016, 21:23

Obs.: reveja o enunciado, pode estar errado.

por **Giovana Martins** Sáb 02 Abr 2016, 10:07

Perdão, Pré-Iteano. De fato eu cometi um erro ao digitar o enunciado da questão. O correto é Q(6)<0. Tenho apenas uma dúvida. Como sabe que 3 é raiz dupla?

por **Claudir** Sáb 02 Abr 2016, 10:44

Nesse caso ficamos com a alternativa E, pois f(6) terá de ser negativo.

Como P(x) e Q(x) são funções do primeiro grau, cada uma admite apenas uma raíz - que já sabemos ser o 3. A equação obtida pela multiplicação dessas duas levará a uma função (do segundo grau) com as mesmas raízes das funções originais.

por **Giovana Martins** Sáb 02 Abr 2016, 11:00

. Muito obrigada, Pré-Iteano. Isso é uma propriedade das funções?

por **Elcioschin** Sáb 02 Abr 2016, 12:52

Giovana

Seja P(x) = x - 3 ---> Raiz: x = 3

Seja Q(x) = 2.x - 6 ---> Raiz: x = 3

f(x) = P(x).Q(x) ---> f(x) = (x - 3).(2.x - 6) ---> f(x) = (x - 3).2.(x - 3)

f(x) = 2.(x - 3)² ---> Raiz dupla

por **Giovana Martins** Sáb 02 Abr 2016, 12:57

Muito obrigada, Élcio. Consegui entender!

por **Claudir** Sáb 02 Abr 2016, 13:02

É bem intuitivo. Vejamos um exemplo:

Seja P(x) = ax+b e Q(x) = cx+d equações do primeiro grau com raízes respectivamente iguais a r e s.

f(x) = P(x).Q(x)
f(x) = (ax+b)(cx+d)

As raízes de f são os números que zeram a equação acima:

(ax+b)(cx+d) = 0

Para que a multiplicação de dois termo seja igual a zero, ao menos um dos termos deve ser zero.
Mas qual seria o número que zera a primeira parte da equação? r. E qual seria o número que zera a segunda parte? s.
Portanto r e s são as raízes de f(x).

O mesmo vale para os demais graus de equações.

PS: fiz essa resposta antes que pudesse ver a acima hahah.