Cálculo da derivada e segunda derivada

por TheUltimateCross Qui 24 Mar 2016, 17:25

Boas pessoal! Alguém me pode explicar como resolver esta questão?

1. Calcule a primeira derivada e a segunda derivada de

$Cálculo da derivada e segunda derivada Gif$
Nota: não vale utilizar a fórmula da derivada da raiz, pois ela não é permitida em exame. Há que transformar a raiz numa base de potência, sendo que, caso se verifique, a fórmula final da primeira e da segunda derivada devem srt convertidas de novo na forma de raiz.

Obrigado!! Wink

por **Elcioschin** Qui 24 Mar 2016, 18:24

A regra XI do fórum proíbe a postagem de links para o enunciado.
Por valor, EDIT sua mensagem, usando, por exemplo, o símbolo de raiz quadrado da tabela ao lado SÍMBOLOS UTEIS.

por TheUltimateCross Qui 24 Mar 2016, 19:28

Desculpe pelo erro Elcioschin. Está corrigido. Pode-me auxiliar-me?? Obrigado!

por **Baltuilhe** Qui 24 Mar 2016, 20:15

Boa tarde!

Podemos tentar assim:
\\f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=x(x^2-1)^{-1/2}\\f'(x)=(x)'\cdot(x^2-1)^{-1/2}+x\cdot[(x^2-1)^{-1/2}]'\\f'(x)=(x^2-1)^{-1/2}+x\cdot[(-1/2)(x^2-1)^{-1/2-1}(x^2-1)']\\f'(x)=(x^2-1)^{-1/2}+x[(-1/2)(x^2-1)^{-3/2}(2x)]\\f'(x)=(x^2-1)^{-1/2}-x^2(x^2-1)^{-3/2}\\f'(x)=(x^2-1)^{-3/2}[(x^2-1)-x^2]\\f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{(x^2-1)^3}}

Agora, derivando novamente:
\\f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{(x^2-1)^3}}=-(x^2-1)^{-3/2}\\f''(x)=-(-3/2)(x^2-1)^{-3/2-1}(x^2-1)'\\f''(x)=-(-3/2)(2x)(x^2-1)^{-5/2}\\f''(x)=\frac{3x}{\sqrt{(x^2-1)^5}}

Espero ter ajudado!