EN- Segunda Derivada
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EN- Segunda Derivada
por Bruna Barreto Sex 10 Ago 2012, 11:30
Considere a funçao real f,de variável real , definida por f(x)=x + lnx, x >0.Se g é a funçao inversa de f, entao g''(1) vale:
a)1
b)0,5
c)0,125
d)0,25
e)0
a)1
b)0,5
c)0,125
d)0,25
e)0
- Spoiler:
- c
Bruna Barreto- Fera
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Re: EN- Segunda Derivada
por Robson Jr. Sex 10 Ago 2012, 16:03
Denotemos por y a função f(x).
 "\small y=x+ln(x)")
Para encontrar a inversa, trocamos x por y:
 "\small x=y+ln(y)")
Derivando:
Derivando novamente, pela regra do quociente:
-yy'}{(y+1)^2} \Rightarrow y''=\frac{y'}{(y+1)^2} \Rightarrow y''=\frac{y}{(y+1)^3} "\small y'' =\frac{y'(y+1)-yy'}{(y+1)^2} \Rightarrow y''=\frac{y'}{(y+1)^2} \Rightarrow y''=\frac{y}{(y+1)^3}")
=\frac{g(x)}{(g(x)+1)^3} "\small g''(x)=\frac{g(x)}{(g(x)+1)^3}")
Queremos g''(1), e podemos encontrá-la em função de g(1) como mostrado acima.
Pela definição de função inversa, se f(k) = 1, então g(1) = k. Vamos tentar achar esse k...
=1 \Rightarrow k+ln(k)=1 "\small f(k)=1 \Rightarrow k+ln(k)=1")
Não dá pra isolar a variável, mas é fácil ver que k = 1 serve. Aplicando:
=\frac{g(1)}{(g(1)+1)^3}=\frac{k}{(k+1)^3}=\frac{1}{(1+1)^3}={\color{Red} \text{0,125}} "\small g''(1)=\frac{g(1)}{(g(1)+1)^3}=\frac{k}{(k+1)^3}=\frac{1}{(1+1)^3}={\color{Red} \text{0,125}}")
Para encontrar a inversa, trocamos x por y:
Derivando:
Derivando novamente, pela regra do quociente:
Queremos g''(1), e podemos encontrá-la em função de g(1) como mostrado acima.
Pela definição de função inversa, se f(k) = 1, então g(1) = k. Vamos tentar achar esse k...
Não dá pra isolar a variável, mas é fácil ver que k = 1 serve. Aplicando:
Robson Jr.- Fera
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