Vetor ortogonal aos vetores u e v

Determinar um vetor que seja ortogonal a ambos os vetores u = (1, -1, 4) e v = (3, 2, -2).

Gabarito: (10, -10, 5) ou qualquer múltiplo desse vetor.

OBS: Tentei fazer produto vetorial entre u e v e encontrei (-6, 14, 5)...

Seja x=(a,b,c) esse vetor. Se eles são ortogonais a u e v, então o produto escalar u*x e v*x serão nulos:

u\cdot x=0\\ (a,b,c)\cdot (1,-1,4)=0 \\ a-b+4c=0

v\cdot x=0\\ (a,b,c)\cdot (3,2,-2)=0 \\ 3a+2b-2c=0

Multiplicando a segunda por 2 somando a primeira:

7a+3b=0 \rightarrow b=-\frac{7a}{3}

Substituindo b na primeira:

a+\frac{7a}{3}+4c=0\\ c=-\frac{10a}{12}

Logo, x=\left ( a,-\frac{7a}{3},-\frac{5a}{6} \right ) para qualquer a real.

Fazendo a=-6, encontrará x=(-6,14,15), como você encontrou. Abraço!

Saquei. Então eu posso obter o vetor ortogonal tanto pelo produto escalar (igualando a zero) quanto pelo produto vetorial, não é? Muito obrigado pela resolução.

Não, são duas coisas diferentes:

- O produto vetorial é uma operação entre vetores, não-comutativa, que gera um vetor perpendicular aos vetores que se multiplicam. Dessa forma você obtém o vetor ortogonal.

- O produto escalar é também uma operação entre vetores, comutativa, que gera um escalar. O produto escalar entre dois vetores ortogonais é nulo, e eu usei este fato para poder encontrar uma classe de vetores que são perpendiculares a u e v. 

Quem gera vetor perpendicular é o produto vetorial.

Entendi a diferença. Pensava que só se podia obter vetores perpendiculares através do produto escalar e que os ortogonais só poderiam ser obtidos por produto vetorial. De qualquer forma, obrigado pela resolução mais uma vez e pela diferenciação dos dois produtos.
O único problema é que o vetor do gabarito não se encaixa no padrão da fórmula do vetor (a, 7a/3,...). A apostila que eu tirei a questão é desse site: http://www.ime.unicamp.br/~valle/PastCourses/gaal9.pdf
Acredito que o gabarito esteja errado porque tem uma questão de módulo que o gabarito não bate também.

De nada Kulo. Não se esqueça que a ortogonalidade é uma propriedade entre vetores para qualquer espaço vetorial com produto interno definido, quando o produto interno for nulo. A perpendicularidade é uma interpretação geométrica no R³, quando o produto interno é definido pelo produto escalar, sendo este nulo no caso de perpendicularidade. Resumindo: a perpendicularidade é a ortogonalidade no R³.

Abraço!

Gente, que estranho, calculei e achei 10,10 e 5.
Só não entendi pq não deu sinal negativo no segundo vetor.
2i+(-  8  )= 10 (na vdd, pelo que minha professora já falou eu conservaria o sinal do maior)
12j+( - 2 j) = 10
2k+3k= 5

Se fosse seguir minha professora, o resultado do primeiro vetor seria -10 pq 8 é maior, o segundo vetor positivo pq 12 é maior q 2.
Fiquei bolada

2)

Tem como você fazer essa, por favor?

2) 

Alguém pode fazer essa, por favor?

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