Vetor ortogonal e coplanar a outros vetores

por Marco.9712 3/7/2013, 9:52 pm

Olá amigos, estou com dificuldade em um problema, se alguém puder me ajudar, agradeço.

Determinar o vetor de módulo √10, na qual é ortogonal ao vetor w = (3,4,-1) e coplanar com o vetor v = (2,1,1) e o eixo das abscissas.

Bom, consigo determinar as equações do módulo e da condição de ortogonalidade, mas empaco na questão do mesmo ser coplanar com o vetor v e o eixo das abscissas.

por Luck 5/7/2013, 12:41 am

Seja t o vetor que queremos t = (a,b,c) , u o vetor do eixo das abscissas u (k,0,0).
Como t é coplanar com o vetor v e u, entao o produto misto é nulo [t,u,v] = 0
disso obtemos -bk + ck = 0 ∴ b = c , t (a,c,c) ; além disso t.w = 0:
(a,c,c).(3,4,-1) = 0
3a + 4c - c = 0 ∴ a = c
√(c² +c² + c²) = √10
3C² = 10 ∴ c = +-√30/3 , t(+-√30/3 , +-√30/3 , +-√30/3)
obs. se tiver gabarito nao esqueça de postar.

por rihan 5/7/2013, 5:42 am

Vetor ortogonal e coplanar a outros vetores WheYYwlhZaa91sNuO+BADOmJqaIs8Qxt5CAwCQZBQaAAAbUWgAAGxEoQEAsBGFBgDARhQaAAAbUWgAAGxEoQEAsBGFBgDARhQaAAAbUWgAAGxEoQEAsBGFBgDARhQaAAAbUWgAAGxEoQEAsBGFBgDARhQaAAAbUWgAAGxEoQEAsBGFBgDARv8fOnlXKjXtIY4AAAAASUVORK5CYII=

1) Dados:

| u | = √10

w = (3; 4; -1)

u 丄 w

u ∈ β , β : x ∧ v

v = (2; 1; 1)

x = (x; 0; 0)

2) Pede=se:

u = (x; y; z) ?

3) Tem-se:

a) u Coplanar ao Plano β:

β : x ∧ v

v = (2; 1; 1)

x // i = (1; 0; 0)

v × i = n 丄 β

n = j - k = (0; 1; -1)

u ∈ β ⇒ u 丄 n ⇒ u . n = 0

(0; 1; -1)

u . n = 0

(x; y; z) . (0; 1; -1) = 0

y - z = 0

y = z

b) Módulo:

|u|² = x² + y² + z² = (√10)²

x² + y² + z² = 10

c) Ortogonalidade

u 丄 w ⇒ u . w = 0

(x ; y; z) . (3; 4; -1) = 0

3x + 4y - z = 0

d) Sistema:

y - z = 0
x² + y² + z² = 10
3x + 4y - z = 0

3x + 3y = 0

x = -y

x² + y² + z² = 10

3x² = 10

x = ± √(30) /3

y = z = ∓√(30) /3

u = ( ± √(30) /3; ∓√(30) /3 ; ∓√(30) /3 )

por Marco.9712 5/7/2013, 1:02 pm

Muito obrigado pela ajuda, só tive uma pequena dúvida neste trecho.

v × i = n 丄 β

n = j - k = (0; 1; -1)

Porque o vetor n é igual a j - k?

por rihan 5/7/2013, 4:32 pm

v × i = n

n 丄 β

n = v x i

v = (2; 1; 1)

i = (1; 0; 0)

$Vetor ortogonal e coplanar a outros vetores Gif$

n = j - k

Definição de Produto Vetorial... :study: :cyclops: