qualquer que seja n inteiros

por jose roberto Qui 02 Dez 2010, 20:06

Mostrar que n^3 + 3n + 5 não é divisível por 121, qualquer que seja n inteiros. Very Happy

por Jean1512 Qui 21 Jul 2011, 00:20

jose roberto escreveu:Mostrar que n^3 + 3n + 5 não é divisível por 121, qualquer que seja n inteiros.

121=11²

$n \equiv p (mod 11)$

$p\in (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)$

Se $n \equiv 0 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 3n \equiv 0 (mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 5 (mod 11)$

Se $n \equiv 1 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 1^{3} \equiv 1 (mod 11)$

$3n \equiv 3.1 \equiv 3 (mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 1 + 3 + 5 \equiv 9 (mod 11)$

Se $n \equiv 2 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 2^{3} \equiv 8 (mod 11)$

$3n \equiv 3.2 \equiv 6 (mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 8 + 6 + 5 \equiv 19 \equiv 8 (mod 11)$

Se $n \equiv 3 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 3^{3} \equiv 27 \equiv 5 (mod 11)$

$3n \equiv 3.3 \equiv 9 (mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 27 + 9 + 5 \equiv 41 \equiv 8 (mod 11)$

Se $n \equiv 4 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 4^{3} \equiv 64 \equiv 9 (mod 11)$

$3n \equiv 3.4 \equiv 12 \equiv 1 (mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 9 + 1 + 5 \equiv 15 \equiv 4 (mod 11)$

Se $n \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 5^{3} \equiv 125 \equiv 4 (mod 11)$

$3n \equiv 3.5 \equiv 15 \equiv 4(mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 4 + 4 + 5 \equiv 13 \equiv 2 (mod 11)$

Se $n \equiv 6 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 6^{3} \equiv 216 \equiv 7 (mod 11)$

$3n \equiv 3.6 \equiv 18 \equiv 7(mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 7 + 7 + 5 \equiv 19 \equiv 8 (mod 11)$

Se $n \equiv 7 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 7^{3} \equiv 343 \equiv 2 (mod 11)$

$3n \equiv 3.7 \equiv 21 \equiv 10(mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 2 + 10 + 5 \equiv 17 \equiv 6 (mod 11)$

Se $n \equiv 8 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 8^{3} \equiv 512 \equiv 6 (mod 11)$

$3n \equiv 3.8 \equiv 24 \equiv 2(mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 6 + 2 + 5 \equiv 13 \equiv 2 (mod 11)$

Se $n \equiv 9 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 9^{3} \equiv 729 \equiv 3 (mod 11)$

$3n \equiv 3.9 \equiv 27 \equiv 5(mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 3 + 5 + 5 \equiv 13 \equiv 2 (mod 11)$

Se $n \equiv 10 (mod 11)$

$n^{3} \equiv 10^{3} \equiv 1000 \equiv 1 (mod 11)$

$3n \equiv 3.10 \equiv 30 \equiv 8(mod 11)$

$5 \equiv 5 (mod 11)$

$n^{3} + 3n + 5 \equiv 1 + 8 + 5 \equiv 14 \equiv 3 (mod 11)$

Logo, não há n que faça n³ + 3n + 5 ser múltiplo de 11.
Se n³ + 3n + 5 não é múltiplo de 11, não consegue ser múltiplo de 121. cqd

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