Polinômios

No polinômio p(x) = x^4 – kx^2 + tx, com coeficientes reais, a soma de duas de suas raízes, não nulas, é igual a 3. Sabendo-se que k – t = 1, o resto da divisão de p(x) por (x + 1) é

(A) – 12.
(B) – 11.
(C) 11.
(D) 13.
(E) 12.

p(x) = x^4 - kx² + tx
p(x) = x(x³ - kx + t)
Temos que uma das raízes de p(x) é igual a zero e as outras raízes serão também raízes de x³ -kx + t.
De x³ -kx + t podemos perceber que a soma de todas as raízes será igual a zero. Sendo essas raízes iguais a "a", "b" e "c", temos:
a + b + c = 0
Como a soma de duas delas é 3,
3 + c = 0
c = -3
Com isso vemos que outra raíz de p(x) é -3.
Agora substituindo em p(x).
-3((3)³ - k(-3) + t) = 0
3k + t = 27
k - t = 1    k = 7 e t = 6

p(x) = x(x³ -7x + 6)

Dividindo p(x) por (x + 1) irá encontrar resto -12.

Espero que tenha te ajudado.

x(x³ - kx + t)
x(x³ - kx + k - 1)
x(x-1)(x² + x - k + 1)

Sejam a e b as outras duas raízes.
Por Girard:
a + b + 1 + 0 = 0
a + b = -1

Do enunciado, a soma de duas raízes é 3. Como a soma daquelas duas é -1, resta que a soma de uma delas com 1 tem que dar 3:
a + 1 = 3 ---> a = 2 ou
b + 1 = 3 ---> b = 2

Como tanto faz, tome que a = 2 e teremos b = -3.
Assim,
P(x) = x(x-1)(x-2)(x+3)
P(-1) = -(-2)(-3)(2) = -12