Integral de cos(x) pela definição.

por **Carlos Adir** Sáb 26 Set 2015, 09:25

Ainda não aprendi integral, então não consigo fazer uma resposta bem formal. Contudo, para fins didáticos a resolução serve:

Bem como sabemos, integral pode ser dada por:
$\mathrm{ \int_{0}^{b}cos \ x \ dx = \lim_{k \to \infty} \dfrac{b}{k} \sum_{i=0}^{k}cos\left(i \dfrac{b}{k}\right)=\lim_{k \to \infty} S; \ \ \ S=\dfrac{b}{k}\sum_{i=0}^{k}cos \left(i \dfrac{b}{k}\right)}$

Para conseguirmos resolver essa soma de cossenos, vamos utilizar uma propriedade cuja prova está no link:
Link: Demonstrações de identidades trigonométricas
$\\ \mathrm{cos \ x + cos \ y = 2 cos \dfrac{x+y}{2} cos \dfrac{x-y}{2}}$

Assim, podemos reescrever a soma dos cossenos:
$\\ \mathrm{S = \dfrac{b}{k} \cdot P; \ \ \ \ P = cos \left(\dfrac{0 \cdot b}{k} \right )+cos \left(\dfrac{1 \cdot b}{k} \right )+ \cdots + cos \left(\dfrac{k \cdot b}{k} \right )}$
Pegando a soma de cossenos do ultimo termo, com o primeiro. O penultimo termo, com o segundo, e assim por diante, obtemos:
$\\ \mathrm{P = \underbrace{\mathrm{ 2 cos \dfrac{b}{2} cos \dfrac{b(k-0)}{2k}}}_{cos(0b/k)+cos(kb/k)} + \underbrace{\mathrm{2cos \dfrac{b}{2}cos \dfrac{b(k-2)}{2k}}}_{cos(1b/k)+cos((k-1)b/k)}+\cdots + 2cos \dfrac{b}{2}cos \dfrac{b(k-k)}{2k} } \\ \mathrm{P = 2cos \dfrac{b}{2} \left[\underbrace{\mathrm{cos \dfrac{b(k-0)}{2k}+cos \dfrac{b(k-2)}{2k}+\cdots+cos \dfrac{b(k-k)} {2k}}}_{k/2 \ termos} \right]}$
Utilizando protasferese denovo, obtemos:
$\\ \mathrm{P = 2^2cos \dfrac{b}{2} \cdot cos \dfrac{b}{4} \left[\underbrace{\mathrm{cos \dfrac{b(k-0)}{4k}+cos \dfrac{b(k-2)}{4k}+\cdots+cos \dfrac{b(k-k)} {4k}}}_{k/4 \ termos} \right]}$
Podemos perceber uma tendência. E se tomarmos k = 2^n, obtemos:
$\\ \mathrm{P = 2^n \cdot cos \dfrac{b}{2}cos\dfrac{b}{4} cos \dfrac{b}{8} \cdots cos \dfrac{b}{2^{n-1}}\left[cos \dfrac{b}{2^n} \right ]^2} \\ \mathrm{P = \dfrac{cos \dfrac{b}{2^{n}} \cdot 2^{n-1} \cdot cos \dfrac{b}{2}cos\dfrac{b}{4} \cdots cos \dfrac{b}{2^{n-1}}\left(2cos\dfrac{b}{2^n} \cdot sen\dfrac{b}{2^n} \right )}{sen \dfrac{b}{2^n}}} \\ \mathrm{P = \dfrac{cos \dfrac{b}{2^{n}} \cdot 2^{n-1} cos \dfrac{b}{2}cos\dfrac{b}{4}\cdots cos \dfrac{b}{2^{n-1}}sen \dfrac{b}{2^{n-1}}}{sen \dfrac{b}{2^{n}}}} \\ \mathrm{\cdots} \\ \mathrm{P = \dfrac{cos \dfrac{b}{2^{n}} \cdot sen \ b}{sen \dfrac{b}{2^n}}=\dfrac{cos \dfrac{b}{k} \cdot sen \ b}{sen \dfrac{b}{k}}}$
Portanto, temos o limite:
$\\ \mathrm{\lim_{k \to \infty} S = \lim_{k \to \infty} \dfrac{b}{k} \cdot P = \lim_{k \to \infty} \dfrac{b}{k} \cdot \dfrac{cos \dfrac{b}{k} \cdot sen \ b}{sen \dfrac{b}{k}}=sen \ b \cdot \lim_{k \to \infty} \dfrac{1}{\left(\dfrac{sen \frac{b}{k}}{\frac{b}{k}}\right)} \cdot \lim_{k \to \infty} cos \dfrac{b}{k}}$
Obtemos então um limite fundamental e portanto:
$\\ \mathrm{\lim_{k \to \infty} S =sen \ b }$
Logo, temos:
$\\ \boxed{\mathrm{\int_{0}^{b} cos \ x \ dx =sen \ b}}$

Enfim, existem outras maneiras de mostrar a integral de cosseno, por séries por exemplo.

Integral de cos(x) pela definição.

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