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Demonstrações de identidades trigonométricas

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Demonstrações de identidades trigonométricas Empty Demonstrações de identidades trigonométricas

Mensagem por Carlos Adir Seg 19 Jan 2015, 19:21

Este tópico demonstraremos algumas relações trigonométricas:



Demonstrações de identidades trigonométricas Mnpe8sK
Definamos primeiramente alguns axiomas:
Axiomas:

1°) sen² θ + cos² θ = 1:
2°) 1+cot² θ=csc² θ:
3°) 1+tan² θ=sec² θ:
4°) sen (α ± β) = sen α · cos β ± sen β · cos α:
5°) cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β:
6°) tan (α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α · tan β):
7°) sen θ = 2t/(1+t²):
8°) cos θ=(1-t²)/(1+t²):
9°) tan θ= 2t/(1-t²):
10°) tan θ=(1-cos 2θ)/(sen 2θ):
11°) tan θ=(sen 2θ)/(1+cos 2θ):
Decorrências destas relações, tem-se que:
sen:
cos:
tan:
A imagem abaixo resume tudo:
Imagem:

Espero que esteja bom, qualquer erro ou sugestão, podem falar. 
Há mais algumas notações sobre trigonometria, mas para não ficar muito extenso, apenas as demonstrações clássicas são suficientes.
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Demonstrações de identidades trigonométricas Empty Re: Demonstrações de identidades trigonométricas

Mensagem por Euclides Seg 19 Jan 2015, 21:08

Está muito bom e útil, Carlos. Vou manter o tópico fixo para ser alcançado facilmente a qualquer tempo.

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Demonstrações de identidades trigonométricas Empty Re: Demonstrações de identidades trigonométricas

Mensagem por Ashitaka Sab 13 Jun 2015, 19:17

Uma pequena correção:
"Definamos primeiramente alguns axiomas"
O que se segue não são axiomas, são definições; a diferença entre essas duas palavras é de grande importância na matemática. E axiomas também não são 'definidos'.

E uma observação: sabemos que as identidades são verdadeiras, uma vez satisfeitas as condições de existência, para todos ângulos reais; entretanto, atentemos ao fato de que as demonstrações acima estão sendo provadas apenas para ângulos entre 0° e 90°.

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Mensagem por Carlos Adir Sab 25 Jul 2015, 15:03

É Ashitaka, obrigado pelo toque. Não tenho o rigor matemático e pouco sei sobre as palavras. Mas espero que o post seja o util.
E acho que tais demonstrações valem para ângulos entre 90° e 360° também, visto que, depois do 4 quase todas as restantes são feitas por meio de algebra e deste modo, valem para ângulos entre 90° e 360°.

E aproveitando o tópico, gostaria de acrescentar mais algumas coisas que considero úteis e que ainda não estão no fórum:
12°) cos²θ = (1+cos 2θ)/2:
13°) sen²θ=(1-cos 2θ)/2:
Protasferese:
14°) sen x + sen y = 2 sen [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]:
15°) sen x - sen y = 2 cos [(x+y)/2] sen [(x-y)/2]:
16°) cos x + cos y = 2 cos [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]:
17°) cos x - cos y = - 2 sen [(x+y)/2] sen [(x-y)/2]:

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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