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Demonstrações de identidades trigonométricas

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Demonstrações de identidades trigonométricas Empty Demonstrações de identidades trigonométricas

Mensagem por Carlos Adir Seg 19 Jan 2015, 18:21

Este tópico demonstraremos algumas relações trigonométricas:



Demonstrações de identidades trigonométricas Mnpe8sK
Definamos primeiramente alguns axiomas:
Axiomas:

No caso, temos:

Outras definições consistem em chamar os inversos de seno, cosseno e tangente como cossecante, secante e cotangente, respectivamente. Isto é:

No caso, temos então:


1°) sen² θ + cos² θ = 1:
Por Pitágoras, temos que:

Substituindo então, temos que:

2°) 1+cot² θ=csc² θ:
Por Pitágoras, temos que:

Substituindo então, temos que:

3°) 1+tan² θ=sec² θ:
Por Pitágoras, temos que:

Substituindo então, temos que:

4°) sen (α ± β) = sen α · cos β ± sen β · cos α:
Primeiramente, provemos para soma, e analogamente, para a diferença
Da imagem abaixo, tiramos:
Demonstrações de identidades trigonométricas 88idXbp
Temos então, que a linha pontilhada é o h. E tal que sen (α+β)=h/(cos α . sec β)
Por área, temos então que:

Então, podemos agora descobrir o valor do seno da soma dos ângulos:

Substituindo, temos que:

Agora, faremos para a subtração:
Demonstrações de identidades trigonométricas RlqHK6w
A linha pontilhada é o sen (α - β)
Por áreas, temos então que:


Ou seja, segue que vale a propriedade:


5°) cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β:
Podemos demonstrar de dois modos:
1) Utilizando a propriedade 4°) acima relacionada por meio de algebra;
2) Utilizando o círculo trigonométrico
Algebra:
Sabe-se pela propriedade 1 que:

Então:

Circulo Trigonométrico:
A distância entre dois pontos no plano (x,y) e (x,y) é dada por

Consideremos então no círculo unitário os pontos P e Q tais que
Demonstrações de identidades trigonométricas TDnYgNb
Como P=(cos α, sen α) e Q=(cos β, sen β), a distância d entre os pontos P e Q é dada por

Desenvolvendo os quadrados e lembrando que sen² x + cos² = 1, obtemos

Mudemos agora noso sistema de coordenas girando os eixos de um ângulo β em torno da origem.
Demonstrações de identidades trigonométricas L2u8p38
Neste novo sistema, o ponto Q tem coordenadas 1 e 0 e o ponto P tem coordenadas cos(α-β) e sen(α-β). Calculando novamente a distância entre os pontos P e Q, obtemos

ou 
Igualando os valores de d², temosα β

A outra fórmula, decorre facilmente da que acabamos de obter. Substituindo na equação acima o β por -β, encontramos

Isso decorre de algumas outras relações fundamentais que veremos posteriormente
6°) tan (α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α · tan β):
Por manipulação algébrica:

7°) sen θ = 2t/(1+t²):
8°) cos θ=(1-t²)/(1+t²):
9°) tan θ= 2t/(1-t²):
10°) tan θ=(1-cos 2θ)/(sen 2θ):
11°) tan θ=(sen 2θ)/(1+cos 2θ):
Decorrências destas relações, tem-se que:
sen:
cos:
tan:
A imagem abaixo resume tudo:
Imagem:
Demonstrações de identidades trigonométricas Xiq3VWO

Espero que esteja bom, qualquer erro ou sugestão, podem falar. 
Há mais algumas notações sobre trigonometria, mas para não ficar muito extenso, apenas as demonstrações clássicas são suficientes.
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Mensagem por Euclides Seg 19 Jan 2015, 20:08

Está muito bom e útil, Carlos. Vou manter o tópico fixo para ser alcançado facilmente a qualquer tempo.

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Mensagem por Ashitaka Sab 13 Jun 2015, 19:17

Uma pequena correção:
"Definamos primeiramente alguns axiomas"
O que se segue não são axiomas, são definições; a diferença entre essas duas palavras é de grande importância na matemática. E axiomas também não são 'definidos'.

E uma observação: sabemos que as identidades são verdadeiras, uma vez satisfeitas as condições de existência, para todos ângulos reais; entretanto, atentemos ao fato de que as demonstrações acima estão sendo provadas apenas para ângulos entre 0° e 90°.

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Mensagem por Carlos Adir Sab 25 Jul 2015, 15:03

É Ashitaka, obrigado pelo toque. Não tenho o rigor matemático e pouco sei sobre as palavras. Mas espero que o post seja o util.
E acho que tais demonstrações valem para ângulos entre 90° e 360° também, visto que, depois do 4 quase todas as restantes são feitas por meio de algebra e deste modo, valem para ângulos entre 90° e 360°.

E aproveitando o tópico, gostaria de acrescentar mais algumas coisas que considero úteis e que ainda não estão no fórum:
12°) cos²θ = (1+cos 2θ)/2:
Como sabemos:

Fazendo as manipulações:

13°) sen²θ=(1-cos 2θ)/2:
Utilizando a relação acima:
Protasferese:
14°) sen x + sen y = 2 sen [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]:

15°) sen x - sen y = 2 cos [(x+y)/2] sen [(x-y)/2]:

16°) cos x + cos y = 2 cos [(x+y)/2] cos [(x-y)/2]:

17°) cos x - cos y = - 2 sen [(x+y)/2] sen [(x-y)/2]:

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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