Demonstrações de identidades trigonométricas

por **Carlos Adir** Seg 19 Jan 2015, 19:21

Este tópico demonstraremos algumas relações trigonométricas:
$\\ 1^o) \ \ sen^2 \ \theta + cos^2 \ \theta = 1 \\ 2^o) \ \ 1+ cot^2 \ \theta = csc^2 \ \theta \\ 3^o) \ \ 1+tan^2 \ \theta =sec^2 \ \theta \\ 4^o) \ \ sen \left(\alpha \pm \beta \right )=sen \ \alpha \cdot cos \ \beta \pm sen \ \beta \cdot cos \ \alpha \\ 5^o) \ \ cos \ \left(\alpha \pm \beta \right )=cos \ \alpha \cdot cos \ \beta \mp sen \ \beta \cdot sen \ \alpha \\ 6^o) \ \ tan \ \left(\alpha \pm \beta \right ) = \dfrac{tan \ \alpha \pm tan \ \beta}{1 \mp tan \ \alpha \cdot tan \ \beta}$
$\\ . \ \ Se \ t = tan \ \dfrac{\theta}{2} \\ 7^o) \ \ sen \ \theta = \dfrac{2t}{1+t^2} \\ 8^o) \ \ cos \ \theta = \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\ 9^o ) \ \ tan \ \theta = \dfrac{2t}{1-t^2}$
$\\ 10^o) \ \ tan \ \theta = \dfrac{1-cos \ 2\theta}{sen \ 2 \theta}\\ 11^o) \ \ tan \ \theta = \dfrac{sen \ 2\theta}{1+cos \ 2\theta}$
Demonstrações de identidades trigonométricas Mnpe8sK

Demonstrações de identidades trigonométricas Mnpe8sK

Definamos primeiramente alguns axiomas:

Axiomas:

1°) sen² θ + cos² θ = 1:

2°) 1+cot² θ=csc² θ:

3°) 1+tan² θ=sec² θ:

4°) sen (α ± β) = sen α · cos β ± sen β · cos α:

5°) cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sen α · sen β:

6°) tan (α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 ∓ tan α · tan β):

7°) sen θ = 2t/(1+t²):

8°) cos θ=(1-t²)/(1+t²):

9°) tan θ= 2t/(1-t²):

10°) tan θ=(1-cos 2θ)/(sen 2θ):

11°) tan θ=(sen 2θ)/(1+cos 2θ):

Decorrências destas relações, tem-se que:

sen:

cos:

tan:

A imagem abaixo resume tudo:

Imagem:

Espero que esteja bom, qualquer erro ou sugestão, podem falar.
Há mais algumas notações sobre trigonometria, mas para não ficar muito extenso, apenas as demonstrações clássicas são suficientes.

por **Euclides** Seg 19 Jan 2015, 21:08

Está muito bom e útil, Carlos. Vou manter o tópico fixo para ser alcançado facilmente a qualquer tempo.

por **Ashitaka** Sáb 13 Jun 2015, 19:17

Uma pequena correção:
"Definamos primeiramente alguns axiomas"
O que se segue não são axiomas, são definições; a diferença entre essas duas palavras é de grande importância na matemática. E axiomas também não são 'definidos'.

E uma observação: sabemos que as identidades são verdadeiras, uma vez satisfeitas as condições de existência, para todos ângulos reais; entretanto, atentemos ao fato de que as demonstrações acima estão sendo provadas apenas para ângulos entre 0° e 90°.

por **Carlos Adir** Sáb 25 Jul 2015, 15:03

É Ashitaka, obrigado pelo toque. Não tenho o rigor matemático e pouco sei sobre as palavras. Mas espero que o post seja o util.
E acho que tais demonstrações valem para ângulos entre 90° e 360° também, visto que, depois do 4 quase todas as restantes são feitas por meio de algebra e deste modo, valem para ângulos entre 90° e 360°.

E aproveitando o tópico, gostaria de acrescentar mais algumas coisas que considero úteis e que ainda não estão no fórum:
$\\ 12^o) \ cos^2 \ \theta = \dfrac{1+cos \ 2\theta}{2} \\ 13^o) \ sen^2 \ \theta = \dfrac{1-cos \ 2\theta}{2} \\ \mathrm{Protasferese:} \\ 14^o) \ sen \ x + sen \ y = 2 sen \dfrac{x+y}{2} \cdot cos \dfrac{x-y}{2} \\ 15^o) \ sen \ x - sen \ y = 2 cos \dfrac{x+y}{2} \cdot sen \dfrac{x-y}{2} \\ 16^o) \ cos \ x + cos \ y = 2 cos \dfrac{x+y}{2} \cdot cos \dfrac{x-y}{2} \\ 17^o) \ cos \ x - cos \ y = -2 sen \dfrac{x+y}{2} \cdot sen \dfrac{x-y}{2}$