Logaritmo - Dúvida

Considerando log2=a e log3=b, encontre em função de a e b, o logaritmo do número no sistema de base 15.

R: (2b - 3a + 1) / (5b - 5a + 5)


OBS: Alguém me ensina essa?

x = log15(11,25)^(1/5)

x = (1/5)*log15(11,25) ----> 11,25 = 45/4 = 15*3/4 = 15*3/2²

x = (1/5)*log15(15*3/2²)

x = (1/5)*{log15(15) + log15(3) - log15(2²)}

x = (1/5)*{1 + log15(3) - 2*log15(2)} ---->(I)

Mudando para base 10 os dois últimos termos e escrevendo simplesmente log:

log15(3) = log3/log15 = log3/log(3*5) = log3/(log3 + log5) = log3/[log3 + log(10/2)] = log3/(log3 + 1 - log2)

log15(2) = log2/log15 = log2/log(3*5) = log2/(log3 + log5) = log2/[log3 + log(10/2)] = log2/(log3 + 1 - log2)

Substituindo em I:

x = (1/5)*[1 + log3/(log3 + 1 - log2) - 2*log2/(log3 + 1 - log2)]

x = (1/5)*[1 + b/(b + 1- a) - 2a/(b + 1 - a)]

x = (1/5)*[(b + 1 - a) + b - 2a]/(b - a + 1)

x = (2b - 3a + 1)/(5b - 5a + 5 )

confesso que não entendi isso x_x log é uma tortura

Confesso que não entendí a sua dúvida!!!

Eu usei as seguintes propriedades de logaritmos:

1) log x^a = a*log x ----> válida para qualquer que seja a base

2) log (x*y/z) = log x + log y - log z ----> idem

3) logx x = 1

4) logb N = loga N/loga b ---> Fórmula para mudança de base

Quanto ao resto é puro algebrismo: mudança de membro, mmc, etc.

Se você conhece e entende estas propriedades, certamente entenderá a minha solução.
Entretanto, se tem alguma dúvida teórica sobre o assunto, sugiro estudar a teoria a respeito.

andei olhando a teoria e ficou um pouco mais claro, obrigada pelas dicas.