logaritmo (dúvida)

por MakiseKurisu Qua 29 Mar 2017, 00:51

Qual é o valor de t=5^log4(base 5)* log7(base 4)*log11(base7)

Eu vi a resposta do livro, que é 11, mas não entendi como se chegou nessa resposta, pelo que eu entendi foi cortado 4log(base 4) e 7log(base 7). Foi isso? Se sim, peço uma demonstração

por **Willian Honorio** Qua 29 Mar 2017, 01:15

Propriedade:

$\boxed{log_{c}\,b\,.\,log_{b}\,a=log_{c}\,a}$

Demonstração:

$Seja\,\,\,log_{c}b=x;log_{b}a=y;log_{c}a=z\\queremos\,provar\,que\,x.y=z\\\\c^{x}=b\\b^{y}=a\\c^{z}=a\\log_{c}\,b.log_{b}\,a=log_{c}\,a\\(log_{c}\,c^{x}).(log_{c}\,c^{y})=log_{c}\,c^{z}\rightarrow (log_{a}\,^{k}=k.log_{a}\,b)\\\therefore \\x.\underbrace{log_{c}\,c}_{1}\,.y.\underbrace{log_{c}\,c}_{1}=z.\underbrace{log_{c}\,c}_{1}\Rightarrow \boxed{x.y=z}\\ cqd$

$t=5^{x}\,|x=log_{5}\,4.log_{4}\,7.log_{7}\,11\\x=log_{5}\,4.log_{4}\,11\\x=log_{5}\,11\\t=5^{log_{5}\,11}\rightarrow \boxed{t=11}$

por **CaiqueF** Qua 29 Mar 2017, 01:16

por Convidado Qua 29 Mar 2017, 01:21

Primeiro a unificação na base 5

$\\\to \log_54\times\frac{\log_57}{\log_54}\times\frac{\log_511}{\log_57}\\\\\to\log_54\times\log_5(7-4)\times\log_5(11-7)\\\\\to \log_5(4+3+4)\to \log_511\\\\\log_511=y\;\to\;5^y=11\\\\\\5^{\log_511}=11$