Demonstrando a sequência de Fibonacci

por **Nina Luizet** em Sab Ago 15 2015, 19:50

Graficamente, temos que :

Quando possível, faço um tópico demonstrando as fórmulas das progressões.

por **Ashitaka** em Sab Ago 15 2015, 21:26

por **Willian Honorio** em Dom Mar 18 2018, 15:04

Um resultado bastante interessante provindo desta fórmula:

Escrevamos a Sequência de Fibonacci:

$f_{\text{i}}=\left \{ 1,1,2,3,5,8,13,.... \right \}$

E façamos razões entre termos consequentes e subsequentes desta sequência:

$\frac{1}{1}=1\,\,\,;\,\,\,\,\frac{2}{1}=2\,\,\,\,;\,\,\,\frac{3}{2}=1,5\,\,\,\,;\,\frac{5}{3}=1,666...\\\\\frac{8}{5}=1,6\,\,\,;\,\,\,\,\frac{13}{8}=1,625\,\,\,\,;\,\,\frac{21}{13}\cong 1,615\,\,\,\,;\,\frac{34}{21}\cong 1,619$

Percebe-se que quanto maior o termo de ordem n+1 por um de ordem n as razões tendem a um certo número... Utilizando a Fórmula de Binet para a Sequência de Fibonacci, faremos a razão entre um termo qualquer de ordem n+1 por um de ordem n:

$x=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left ( \frac{1+\sqrt[]{5}}{2} \right )^{n+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n+1} \right ]}{\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left (\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n} \right ]}$

Tomando um n tão grande quanto se queira, teremos o limite:

$x=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left ( \frac{1+\sqrt[]{5}}{2} \right )^{n+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n+1} \right ]}{\frac{1}{\sqrt{5}}\left [ \left (\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{n}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{n} \right ]}\\\\a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\\\b=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\\\\\therefore \\x=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a^{n}-b^{n}}$

Utilizando a fatoração demonstrada no código ao lado: Fatoração

$a^{n+1}-b^{n+1}=(a-b)(a^{n}+b.a^{n-1}+...+b^{n})\\a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+b.a^{n-2}+...+b^{n-1})\\\\x=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(a-b)(a^{n}+b.a^{n-1}+...+b^{n})}{(a-b)(a^{n-1}+b.a^{n-2}+...+b^{n-1})}\\\\x=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{(a^{n}+b.a^{n-1}+...+b^{n})}{(a^{n-1}+b.a^{n-2}+...+b^{n-1})}\\\\$

Que é o limite de um polinômio racional em ''a'', com ''b'' como coeficientes. Sendo o polinômio racional com n tendendo ao infinito, o termo de ordem n do numerador cresce muito mais que os outros deste mesmo polinômio nos quais poderão ser desprezados. No denominador, o termo de ordem n-1 cresce muito mais que os outros deste mesmo polinômio nos quais poderão ser desprezados. O limite é, por conseguinte:

$x=\lim_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^{n}}{a^{n-1}}=\frac{\infty}{\infty}\,\,\,!!!\\\\x=\lim_{n\rightarrow +\infty}a^{n-(n-1)}=\lim_{n\rightarrow +\infty}a=a\\\therefore \\x=\boxed{\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

Que é o notável Número de Ouro da proporção áurea, muito presente na natureza. Ou seja, razões entre números na Sequência de Fibonacci tendem ao Número de Ouro, num valor mais usual:

$\boxed{\phi \cong 1,618...}$

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