Demonstrando a sequência de Fibonacci

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Demonstrando a sequência de Fibonacci

Mensagem por Nina Luizet em Sab Ago 15 2015, 19:50


Graficamente, temos que :

Quando possível, faço um tópico demonstrando as fórmulas das progressões.
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Demonstração do termo geral

Mensagem por Ashitaka em Sab Ago 15 2015, 21:26

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Re: Demonstrando a sequência de Fibonacci

Mensagem por Willian Honorio em Dom Mar 18 2018, 15:04

Um resultado bastante interessante provindo desta fórmula:

Escrevamos a Sequência de Fibonacci:



E façamos razões entre termos consequentes e subsequentes desta sequência:



Percebe-se que quanto maior o termo de ordem n+1 por um de ordem n as razões tendem a um certo número... Utilizando a Fórmula de Binet para a Sequência de Fibonacci, faremos a razão entre um termo qualquer de ordem n+1 por um de ordem n:



 Tomando um n tão grande quanto se queira, teremos o limite:



Utilizando a fatoração demonstrada no código ao lado: Fatoração




Que é o limite de um polinômio racional em ''a'', com ''b'' como coeficientes. Sendo o polinômio racional com n tendendo ao infinito, o termo de ordem n do numerador cresce muito mais que os outros deste mesmo polinômio nos quais poderão ser desprezados. No denominador, o termo de ordem n-1 cresce muito mais que os outros deste mesmo polinômio nos quais poderão ser desprezados. O limite é, por conseguinte:



Que é o notável Número de Ouro da proporção áurea, muito presente na natureza. Ou seja, razões entre números na Sequência de Fibonacci tendem ao Número de Ouro, num valor mais usual:

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Re: Demonstrando a sequência de Fibonacci

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